关于高等数学课程教学的几点认识及教学设计

翟全礼

摘 要：该文提出了对高等数学课程教学方法的一些认识和理解，应用于教学设计及课堂实践可以提高高等数学的教学效果。高等数学课程是大学课程体系中最重要的一门公共基础课程，对其教学方法的选择与课程的教学设计直接影响课程的教学质量与品位。在长期的教学实践中，我们对课程不断有新的认识，有的坚持多年，并且取得了良好的效果。在此提出供年轻教师和学生参考，也与同行相交流。

关键词：概念 高等数学 教学设计

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2016）12（b）-0186-02

1 重视绪论课的教学及对学生的学法指导

在教学过程中重视微积分发展史的作用，明确高等数学课程的学习不仅有应用工具功能，更有文化的功能。高等数学课程内容的主体是微积分，它是与牛顿力学一起诞生的，成为近现代科学的基础和开端。微积分是人类社会2000多年来探索世界的伟大智慧结晶，是宝贵的人类文化精神财富，代表了从古希腊开始一直到近现代无数智者们探求真理的可贵精神。高等数学课程一开始就应该重视微积分发展史的（重要事件、重要人物）介绍，并且给学生介绍正确的数学观，树立起对高等数学课程的性质、地位、作用的正确认识，让学生明确认识到高等数学课程在自己的知识结构、思维品质培养等等方面都有必不可少的重要作用。在实际教学中，无论多少学时、无论是什么性质的课程，我们都坚持课程第一讲讲好绪论课。例如，在高等数学课程的第一次绪论课中，教学设计分3个部分：第一部分：引言，含课程简介、课程预备知识、教材与参考书；第二部分：关于数学的认识与学习，含数学特点、微积分发生与发展史简介、大学数学学习态度与方法；第三部分：映射与函数。其重点和主要内容是第二部分，这部分内容在以后的教学中会经常提及和用到。

2 如何认识和处理高等数学教学内容中的概念

“概念”作为高等数学课程的基本内容，其重要性显而易见，似乎不言自明。但如何让学生了解、切实体会到数学概念的重要性进而真正重视概念的思考与学习却是教学中的一个难点。我们认为树立广义上的“数学概念观”，掌握确定课程内容重点的方法，不论对教师的教学设计与具体实施，还是对学生的学习过程都有很好的促进作用。

有相当部分的学生常常只是注意教材中的公式、定理（法则）、计算方法，满足于会解练习题（并且多是教师归纳的类型）。但这对提升学生的数学思维品质帮助很有限。这种缺乏重视概念的现象实际上在中学阶段就比较普遍地存在了。当时的应试压力、应试教育使得平时学生的数学学习功利性很强，一定程度上影响了（教师、学生）对数学概念深入探究的主动性和积极性，从而导致对数学基本概念的重要性认识不足、着力不够。对于定理、公式的态度也是记结论多，而对相关定理、公式的来源、推导过程（严重）缺乏了解。比如，计算数列极限时有要用到等差数列、等比数列前若干项的和的计算。在作业中有不少同学用错公式（求前n项和做对的多，但若前n+1項或其他的项数的情形算错的比例就比较高）。事实上，若当时学习不仅满足于会套用公式，而且明确要求求和公式的推理，更强调公式的寻求过程，那么会使学生更容易掌握这些公式，很少用错。因为根据等差或等比概念的特点寻求和推导求和公式的过程既简洁又极富启发性，还有有趣的历史典故提供，可增强学生的学习兴趣。笔者在教学中纠正学生错误时都会给学生补上这一课。过去杨振宁、陈省身大师都曾讲到过最初接触这部分内容时他们所受的触动，而令他们对此印象深刻。简洁、有力、巧妙，体现了数学的美学价值。教学中提示学生不仅要会做题，而且要逐渐学会欣赏数学，认识到数学的美，达到心理上的愉悦感，进而主动把握数学思想。

高等数学上的概念究竟指什么？笔者认为数学上的概念不能简单理解为仅是指教材上的定义与相关术语，应该对数学概念有更宽泛的理解。数学上的概念不仅是指定义本身，而且还包括引入概念的背景、动机以及应用的前景。对于教学基本要求或大纲中的“理解某某概念”教师和学生如何确切的认识呢？笔者认为对高等数学概念的理解，学习者应该注意如下几方面。

（1）对该概念的来源和动机原因、具体背景必须有一定了解。（这样的例子有：极限、导数、积分等等概念。）

（2）能自如准确地描述概念定义。

（3）了解定义中的关键和精细的地方。

（4）熟悉（熟练推导）定义所衍生出的最基本性质（反映概念的属性与意义）。

（5）明确或了解概念的价值与应用（前景）以及与其他前后概念的联系。

只有对所有这些做充分工作，才算称得上是对该数学概念有较全面的“理解”。

从这样的意义上认识，可以将数学概念看作是一个“概念场”，而不只是仅仅将数学概念视为孤立的一个定义。

在教学中，树立这样的一种广义概念观，并以此指导教学的设计与教学过程应是很有意义的。对学习者而言，对课程的概念学习会有所依据、更有成效，为整个课程的学习创造良好基础。

3 如何确定高等数学教学内容中的重点与非重点问题

准确确定高等数学教学内容中的重点与非重点的问题，无论是对于学生抑或是年青教师都是不太好把握的事情。总觉得有关权威部门确定课程基本要求或大纲指出了重点、一般知识点、难点，这些是依据。其实对于一本书、一门课，其内容的重点应该是客观存在的。我们建议学生或新参加教学的年轻教师用下面简单的方法判别。

一个概念、定理、法则或方法，如果它与前、后的知识点联系较多、联系密切，则它便值得高度重视或者说它应该是个重点内容。反复出现的旋律不可能是小插曲，而是重点旋律，联系最多的就是最重要的地方，是主旋律（主重点）。比如微积分中的函数极限与连续概念就是重点，导数（或微分）与积分也是上述所讲的重点。

准确地确定课程的重点，准确地确定某一章节的重点，对于合理、有效率的教学设计都是有较大价值的，对于学生学习也有比较大的帮助。

4 在课程中适度引入数学软件增强教学效果

在现代信息社会，一门数学课程，尤其是给工科、经管类开设的数学课程，如果仍然只是纸笔运算的话，就显得缺乏应用性了。在教学中使用Mathematica软件，在传统所讲运算之外，增加了称之为“机算”的项目，比如求极限（Limit），求导（D），求积分（Integrate），求解微分方程（DSolve），绘制显函数图形（Plot），绘制隐函数图形（Contour Plot）等等，所化课时不多，但极大扩展了纸笔运算，为使学生今后实际运用数学创造了条件。目前，将数学软件引入课堂，也早已有了不少尝试，但还远没有成为数学教学的标准配置。当各种教改项目过后，有许多成功的经验也没能坚持下来。其中原因之一是教师。原因之二是缺乏合适的教学材料，有些经典的教科书甚至完全没有涉及到数学软件的内容，这也与中学新课标内容的相关努力（已有图形计算器及几何画板等软件处理的材料）不一致，在此也建议经典优秀的教材跟上信息化的步伐，为数学的教学现代化做出其应有的贡献。

参考文献

[1] 同济大学数学系.高等数学[M].7版.高等教育出版社，2014：7.