高中数学教学中常见的思维瓶颈及其调适

陈龙珠

（尤溪县第五中学，福建尤溪365100）

高中数学教学中常见的思维瓶颈及其调适

陈龙珠

（尤溪县第五中学，福建尤溪365100）

高中数学教学过程是师生的思维交往过程。思维过程出现瓶颈将直接影响教学效率。高中数学教学中常见的思维瓶颈有四种：情境数学化中的思维瓶颈；预设与生成转化中的思维瓶颈；合情与演绎推理转化中的思维瓶颈；从开放到聚焦的思维瓶颈。教师要根据不同瓶颈的具体特点，做好防范并在学生出现瓶颈时适时调适。

高中数学；教学；思维瓶颈；调适；例谈

一、情境数学化中的思维瓶颈及其调适

教学过程的本质是师生的交往过程，而且，这种交往主要又集中体现在情境问题的数学化的分析和认识上。所以，交往过程是否形成瓶颈，是看以问题为载体的思维交往是否能够进行，无法继续就形成了瓶颈。一般而言，面对一个数学情境问题，对教师来讲是熟悉的，而且也可能是具体而“形象”的；而对学生而言则是陌生的、未知的，有时甚至还是抽象的。此时，教师在引导的问题设置上如果过于繁琐，或过于想当然就会使学生“误入歧途”或无法聚焦本质，便会产生瓶颈。例如，为了激发学生的学习兴趣，解决数学的枯燥无味（数学真就无味吗），在教学等差数列前n项和时，有教师找了这样一个情境：“泰姬陵坐落于印度故都阿格，是十七世纪……所建”“她……”一通幻灯费时5分钟，泰姬陵的宏伟、宝石的奢靡、图案的叫绝，让学生如痴如醉，很多学生已经忘记了是在上数学课，更有甚者，对如何才能建造，要花多少世纪建造，在当时真能建造吗，是谁这么厉害建造等问题开始了漫无目的的遐想，此时，教师才提出三个问题“你知道这个图案一共用了多少颗宝石吗？”“图案中第一层到第n层一共有多少颗宝石？”“若{an}是等差数列，求前n项和。”其实，此时的很多学生的思维已经出现了这样的瓶颈：“传说的三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层”可信吗？真是大小相同吗？老师是怎么折腾的，这也能和数列扯上关系？至此，师生的思维交往基本失败！

在这个案例中，教师先是“扰乱视听”后则“自以为是”。其实，高中学生已经不是初中生了，他们已经具备了把数学的简单问题作为思维“形象”进行思考的能力了，所以，不能把简单问题繁琐化，更不能复杂化，否则，极有可能产生思维偏离或出现思维瓶颈；另一方面，数学情境对教师而言已经是数学化了的模型情境，教师只要引导学生将生活状态中的经验情境转化成经验模型，那么，就能大大地降低思维瓶颈产生的可能。

二、预设与生成转化中的思维瓶颈及其调适

高中数学课堂的预设，基本上是以问题（有时直接就是命题）的形式出现的；而问题解决后的生成，则是以归纳、类比或推理、计算等分析的深入得以实现的。所以，从预设到生成，其实是有很长的过程性思维的。此时的思维瓶颈更多地指向“迁移障碍”：零迁移和负迁移。

零迁移的原因更多的是知识理解不到位、问题梯度不合理造成的。知识理解不到位可以靠温故知新来实现，问题梯度不合理是问题的针对性（针对自己学生的认识水平和经验水平）不够造成的。例如，在学习二项式定理时，如何化简（C0n）2+（C1n）2…+（Cnn）2，由于受课本例题C0n+C1n+……+Cnn=2n的影响，出现了思维障碍。如何让思维迁移到教师预设的方向上，使学生有（1+x）n（1+x）n的模型，必须回归到对定理来源的梳理上，把思维调整到对展开式中xn系数的分析与研究上；在本例中，教师希望生成是“从2n个球任取n个球”的数学组合模型，所以，在化简题出现前，要有针对性地设置递进式的问题以促进在类比和归纳中迁移，最后实现生成。

负迁移的原因则是经验的简单化应用或经验的简单强化造成的。对思维发展而言，不是重复的越多越好，强化的力度越大越好。最经典的例子就是赵本山的“树上10只鸟，被枪打死一只，树上还剩几只”的问题：第一种情况是过于“忠于”数学的计算模型，成了读死书的书呆子，情境稍加变化，结论的思维习惯性错误就如期而至（剩余9只鸟），我们经常有这样的经验：由于过于强化实系数方程根的判别式的应用，在复数域下就经常出现一元二次方程无解的负迁移；第二种情况是过于纠缠情境的所谓“可能性”，离开数学化的学习而去思考“有聋鸟怎么办”“鸟的双翅膀断了怎么办”等所谓“开放”问题。所以，在思维训练过程中，既要强化对原始模型的数学化认识，更要保留对其拓展和深化的种种可能，这种保留，最有发展性的表现是以相关的问题思考的设置来实现。

三、合情与演绎推理转化中的思维瓶颈及其调适

推理作为数学的基本思维方式，它有两种不同的表现形式：一种是从已有的事实出发，凭借直觉和经验，通过归纳和类比来猜想或推断某些结论；另一种也是从已有的事实出发，不一样的是按照逻辑的法则来证明或计算，最后得到结论。我们知道，第一种叫合情推理，第二种叫演绎推理。对于一般人来讲，合情推理在日常生活中经常使用，应该是一种思维常态；而演绎推理，由于需要遵循推理三段论法则要求，思维的逻辑性相对较高，严密性也较强，因此，在从合情到演绎的推进过程，会经常地出现思维瓶颈。

在从合情推理到演绎推理转化过程中，学生常见的思维瓶颈有三种：一种是从不完全归纳到完全归纳的不适应，也就是说，把猜想变成肯定需要论证，对此需要一个适应过程。例如，互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称，我们一般是以实例画图来直观地感受其对称性，怎么证明这个结论的普遍性，很多学生有本能的思维抵抗，进而影响到后续的学习。当然，这可以从更简单的实例来引导，如：相交于一点的同一平面的直线把平面分割成几个部分？只有严格证明其结论的准确性才能避免不断画图或例举的繁琐性。第二种是不完全归纳阶段的思维简单化表现，想当然地猜想结论，进而匆忙证明而引发的思维障碍。无论是何种思维问题，教师首先是要胸中有数，防范于未然，将问题化解于发生之前。

四、从开放到聚焦的思维瓶颈及其调适

设计开放性的数学问题，让学生自己在探索中获得结论，这是发展学生思维能力比较有效的做法。从思维的角度看，开放性问题的思维本质是从开放到聚焦的过程。所谓开放性问题是指结论的多种可能性，需要学生回归到具体情境之中，从不同角度对问题进行分析和比较，而比较不到位则常常是一大问题；而所谓聚焦，本质是数学化的建模过程，而无法建模则是常见的问题。

例如，为了让学生理解“几种不同增长的函数模型”，笔者设计了这样一个问题：“假设有一笔资金用于投资，现有三种方案：（1）每天回报40元；（2）第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；（3）第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问你会选择哪一种投资方案，为什么？”这也是在建模中比较和具体分析的问题，但是，很多学生思维无法聚焦的原因就是找不到数学模型，所以，根本就无法进行深入的分析和比较。

因此，开放的前提是要回归到具体的数学情境中建模，数量关系、空间形式要数学表达；回归到分类比较的数学学习的习惯养成之中，怎么分类、怎么比较本身就是能力。

［1］邱坤.中学几何教学中数学思想方法的渗透路径探析［J］.亚太教育，2016（6).

［2］张卫星.错题改正应成为培养学生数学素养的契机［J］.教学与管理，2015（7）.

［3］薛海连.一道高数试题的多种证法［J］.科技信息，2010（6）.

G633.6

A

1673-9884（2017）05-0045-02

2017-03-15

陈龙珠，女，尤溪第五中学一级教师。