整体思维在混合运算教学中的应用——由一道经典问题解答引发的思考

郭成法

（寿宁县大同小学，福建 寿宁 355500）

整体思维在混合运算教学中的应用
——由一道经典问题解答引发的思考

郭成法

（寿宁县大同小学，福建 寿宁 355500）

整体思维是把要解决的问题看作一个整体，从整体的角度去思考问题的一种思维方式。分析学生解决经典问题的思维，不难看出学生整体思维的缺失，解决问题思维局限于局部，跳不出框架的限制。文章试从整体思维在混合运算教学中的应用，谈谈培养学生整体思维能力：整体观察，巧运算；巧判断；巧综合；巧添号；巧算24。

整体思维；混合运算；巧运算

案例：甲、乙两人同时从相距100千米的两地相对出发，甲带的一只狗也同时出发，狗以每小时10千米的速度向乙奔去，遇到乙后立即返回，再向甲奔去，遇到甲后又奔向乙，……就这样，狗不停地来回奔跑于甲、乙之间，直到甲、乙相遇，狗才停歇。如果甲每小时行6千米。乙每小时行4千米，请问：这只狗一共跑了多少千米？

这是一道经典的行程中的相遇问题［1］，常被教师们引用做思维训练题，且被津津乐道。据说我国著名数学家华罗庚小时候也曾做过这道题，自小就凸显其与众不同的抓住本质思考问题的整体思维能力。

笔者所在学校每学年都有组织数学竞赛，拟题时总喜欢把这道题作为压轴题，试试有多少学生能透过情节的纠缠，抓住问题的本质，脱颖而出。纵观每届五年级参赛学生的解答情况，大多数学生的思维都指向于考虑狗每次遇到乙或甲时所奔跑的距离，纠缠于这样的细节上，使得问题变得繁难复杂而陷入思维的困境，无法走出思维的死胡同，自然就做错了。可喜的是，还有小部分学生能跳出这个思维的框架，从整体考虑狗所行的时间就是甲、乙相遇的时间，从而使复杂的问题简单化，轻松获解，让人叹服。先求得狗一共跑了100÷（6+4）=10（小时），再求狗一共行了 10×10=100（千米）。

这种从整体上考虑问题中数量关系的方法，摆脱了纠缠于局部细节的制约，跳出局部，从整体出发，眼界开阔，思路拓宽，有利于洞察问题中整体与局部的关系，这便是整体思维法，它是一种重要的数学思想方法。从学生的失误看，他们缺失的正是这种整体思维的方法。整体思维的缺失会导致审题不清，计算失误等不良的解题现象。因此，从思维的全面性来看，加强学生整体思维能力的培养是非常必要的，其关键在于教师要做个有心人，把整体思维能力的培养落实到课堂教学中，有计划、有目的地加以实施。文章试从整体思维能力在混合运算教学中的应用，谈谈笔者培养学生整体思维能力的一些做法。

计算教学是培养学生整体观察能力的有效载体［2］，尤其是混合运算教学中的习题，可谓比比皆是，下面列举数例分析之：

一、整体观察，巧运算

例1：用递等式计算。

1.200-200÷20×5；

2.3.75-1.5-1.5-0.75；

3.830×25+750×83。

这是三步混合运算式题，教学时先要引导学生从整体观察算式的结构，这道题含有几种运算符号，数与数之间有什么关系，能不能简便运算，运用什么原理简算；不能简便运算的要先算什么，再算什么？其中哪一步可以口算，哪一步要笔算？这样先从整体上把握算法，避免了学生看一步算一步，顾此失彼的现象发生。以第3题830×25+750×83为例，整体观察算式可知，这是属于两积之和的计算题，符合乘法分配律的结构特点，虽然原式没有出现共同乘数，仔细观察不难发现，第一个乘法算式的乘数830是第二个乘法算式的乘数83的10倍。有了这个倍数关系，就可以利用等积变数的原理，制造出共同乘数83或830，再运用乘法分配律达到简算之目的。有了这样的整体观察分析，思路明确，为简便计算打开了绿色通道，避免了此题按顺序计算的繁杂思路。根据能应用乘法分配律简便算的算式特点，先对原式进行变形，调整出共同乘数83或830，即原式=83×250+750×83=83×（250+750）=83000或原式=830×25+75×830=830×（25+75）=83000。一道看似不能简算的题，运用整体思维，分析其数与数的关系，达到了巧算之目的。

二、整体观察，巧判断

例2：不计算，哪道算式的结果是最大的。

甲：600-84÷（28×3）

乙：600-84÷28×3

丙：（600-84÷28）×3

例3：不计算，哪道题的○里应填“＜”。

甲：37×14-37×12○37×（14-12）

乙：89-120÷（60-30）○89-120÷60-30

丙：300÷（5×4）+21○300÷5×（4+21）

以上两组题均要求不计算，直接根据算式进行判断，目的是培养学生的推理能力与数感。这样的练习其实是培养学生整体思维的有效载体，因为需要引导学生从整体观察算式，才能进行分析判断。如例2，不计算，哪道算式的结果是最大的，观察3道题，每道题的四个数、运算符号减、除、乘也一样，不一样的只是运算顺序。整体观察比较分析可知：甲、乙两题都是用600减去一个数的差，而丙题，是用600减去一个数的差再乘3，显而易见结果是最大的。再如例3，不计算，哪道题的○里应填“＜”。整体观察，甲算式是运用乘法分配律简算，结果相等；乙算式左边的被减数89减去的减数比右边的被减数89减去的减数要小，结果大；丙算式左边的被除数300除以的除数比右边被除数300除以的除数大，结果小，所以丙算式的○里应填“＜”。教学时，可以采用先整体观察算式，引导学生猜想结果，并说出猜想的依据，再通过计算验证猜想结果。这样的教学，不仅培养学生的整体观察能力，同时还培养了学生的估算能力与猜想验证能力。

三、整体观察，巧综合

例4：把下面每组的算式合并成一个综合算式。

78÷39=2 25×2=50 500÷50=10

30-10=20 3×20=60 1200+60=1260

把分步式改写成综合式，需要从整体观察三个算式，先确定从哪个算式入手，哪个数用算式换，哪里要添括号。以第1题为例，观察三个算式，应从算式500÷50=10入手分析，其中除数50是由25×2得来的，把除数50换成25×2，算式25×2中的2又是由算式78÷39得来的，把数2换成算式78÷39，这样把数换成算式后是500÷25×78÷39；接着再从整体观察运算顺序，根据分步式，78÷39处要添上小括号，25×78÷39处要添上中括号，于是，一道综合算式500÷[25×（78÷39）]就完成了。

四、整体观察，巧添号

例5：在○里填上运算符号，使等式成立。

8○8○8○8○8=1 8○8○8○8○8=2 8○8○8○8○8=3 8○8○8○8○8=4 8○8○8○8○8=5

这道填运算符号的问题，如果不从整体分析，而是一个一个去尝试的话，比较费时，也不是本组题的教学意图。先整体观察，每道题都是5个8，中间要添上4个运算符号或括号，结果分别等于1、2、3、4、5。以第1小题为例，要使结果等于1，从最后往回想，因为8÷8=1，所以把余下的3个8结果变成0。这样从整体的视角来分析判断，就能比较快地找到解题的思路，从而有效达成目标：（8-8）×8+8÷8=1。其他各题的思路，以此类推。

五、整体观察，巧算24

例6：算24。

给出4个数，每个数只能用1次，添上运算符号，使结果为24。如，给出4个3：3、3、3、3算24。从整体分析判断，由最后一个3往回想，24=27-3，把前面3个3的结果组成27，而3个3的积正好是27，于是问题得以解决：3×3×3-3=24。

总之，以上列举的都是混合运算单元教学的内容，这些习题承载着培养学生整体思维能力的功能。这些功能不是自然而然就能得以发挥的，而是需要一线教师要有整体思维的理念和培养意识，教学时，才能自觉挖掘习题背后承载着培养学生整体思维能力的功效并加以实施。正如苏霍姆林斯基所说的，“不会阅读的孩子是潜在的差生”，［3］不会整体思维的学生，也是潜在的思维差生。

［1］徐文彬.数学“解决问题的策略”的理解、设计与教学［J］.课程·教材·教法，2009（1）.

［2］郑毓信，多元表征理论与概念教学［J］.小学数学教育，2011（2-4）.

［3］〔苏〕苏霍姆林斯基.给教师的建议［M］.北京：教育科学出版社，2004.

陈志华）