高考函数复习，你关注教材了吗？——揪出导数高考题之“源”

重庆市长坝中学(408529) 重庆市武隆中学(408500)

龙 明● 吴 军●

高考函数复习，你关注教材了吗？
——揪出导数高考题之“源”

重庆市长坝中学(408529) 重庆市武隆中学(408500)

龙 明● 吴 军●

在强调命题改革的今天，通过改编、创新等手段来赋予课本例、习题新的生命，这已成为高考命题的一种新走向．近几年高考试题的命制越来越新颖多变，尤其对导数的考查，形式多样，但万变不离其宗，大多数高考题都能在课本中找到其原型，所以我们在复习备考的过程中要注意对课本例、习题的训练，把握其实质，掌握其规律，规范其步骤，做到“胸中有本”．

那么这些高考试题是采用课本中哪些题目作为原型题呢？又是如何变化得到的呢？结合高考试题，对有关导数的考题追根溯源，对其常见考点进行提炼，对其解法进行探讨，以期对高考第一轮复习有所启示．

一、胸有成竹，按图索骥→判断函数的图象

例1 (2012年重庆)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x=-2处取得极小值，则函数y=xf′(x)的图象可能是( ).

思路启迪 利用函数f(x)在x=-2处取得极小值，可判断f′(x)在点x=-2附近的左侧与右侧时的符号，从而可得正确的选项．

解析 由函数f(x)在x=-2处取得极小值，可知在点x=-2附近的左侧有f′(x)<0，从而xf′(x)>0，排除B、D；在点x=-2附近的右侧有f′(x)>0，从而xf′(x)<0，排除A，应选C.

追根溯源 此题来源于课本人教A版选修2-2第32页习题1.3A组第4题：如图所示是导函数y=f′(x)的图象，在标记的点中，在哪一点处

(1)导函数y=f′(x)有极大值？

(2)导函数y=f′(x)有极小值？

(3)函数y=f(x)有极大值？

(4)函数y=f(x)有极小值？

解此题的关键是：首先明确导函数y=f′(x)的极值与函数y=f(x)的极值的区别；其次判断导函数y=f′(x)的极大值，只需看导函数图象的“峰”处，判断y=f′(x)的极小值，只需看导函数图象的“谷”处；最后，判断函数y=f(x)的极值，只需看导函数图象与x轴的交点，并判断在这些交点左右导函数的符号．

高考试题只是把课本原题中的结论变更成条件，并把原条件中导函数的图象变为结论“判断y=xf′(x)的图象”．把课本中判断极值问题变为利用导数判断函数的图象，重点考查考生的“看图说话”能力和应用能力．求解此类高考题的关键是：利用函数的极值得出导数的符号，从而判断函数的图象，常通过“数形结合”来判断函数图象的形状．

二、循序渐进，有法可依→求切线方程

例2 (2012年广东)曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程为____．

思路启迪 先求函数y=x3-x+3在x=1处的切线的斜率，再利用点斜式求其切线方程．

解 因为y=x3-x+3，所以y′=3x2-1，所以y′|x=1=3-1=2，所以函数y=x3-x+3在x=1处的切线的斜率为2.由点斜式方程，得所求的切线方程为y-3=2(x-1)，即y=2x+1.

追根溯源 该题的原型是课本湘教版选修2-2第17页练习第2题：求曲线x3-y=0在点(2,8)处的切线的方程．显然要求切线方程，已知过一点，只需求出函数y=x3在x=2处的切线的斜率，然后利用点斜式方程即可求出其切线方程．

高考试题只是把课本原题中的条件“x3-y=0”变为“y=x3-x+3”，把点坐标“(2,8)”变为“(1,3)”，结论不变．导数的几何意义把函数的导数与曲线的切线联系在一起，曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=(x-x0)f′(x0)，其中f′(x0)表示曲线f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率．求曲线的切线方程应当先设切点的坐标，再根据切点坐标的“一拖三”(切点与斜率相关、切点在切线上、切点在曲线上)来求切线方程．当试题中涉及切线方程、切线的斜率(或倾斜角)、切点坐标等问题时，可利用导数的概念及其几何意义迅速获解．

三、化整为零，各个击破→求函数的极值(极值点)

例3 (2012年江苏)若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点．

(1)求a和b的值；(2)设函数g(x)的导函数g′(x)=f(x)+2，求g(x)的极值点．

高考试题只是把课本原题中的三次函数变式成含有参数的三次函数及导函数为三次函数，考查考生的双向思维，既会利用给定极值点求参数的值，又会利用导函数求其极值点．求函数极值点的关键是：利用方程f′(x)=0的根，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，然后依表格内容得其结论．表格的使用，使极值点两边的符号一目了然，便于求极值点．

求函数f(x)极值点的步骤简记为：求f′(x)→方程f′(x)=0的根→列表格→得结论．已知函数的极值点求参数值的关键：函数在极值点处的导数等于零．但易忽视对求出的参数值进行检验，要检验在极大值点左右两侧的导函数的符号是否为“左正右负”，在极小值点左右两侧的导函数的符号是否为“左负右正”，若不满足，则所求的参数值不合题意，应舍去．

四、明修栈道，暗渡陈仓→求函数的最值

例4 (2012年重庆)已知函数f(x)=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c-16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[-3,3]上的最小值．

思路启迪 (1)由f′(2)=0，f(2)=c-16，可得到关于a，b的方程组，即可求出a，b的值．(2)先利用f(x)有极大值28，求出参数c的值，再求方程f′(x)=0的根(注意根的取值范围为[-3,3])及其所对应的函数值，与f(-3)，f(3)进行比较，其中最小的一个就是所求的最小值．

解 (1)因f(x)=ax3+bx+c，故f′(x)=3ax2+b.

(2)由(1)，知f(x)=x3-12x+c，所以f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2)．令f′(x)=0，得x1=-2，x2=2.当x∈(-∞，-2)时，f′(x)>0，故f(x)在(-∞，-2]上为增函数；当x∈(-2,2)时，f′(x)<0，故f(x)在[-2,2]上为减函数；当x∈(2，+∞)时，f′(x)>0，故f(x)在[2，+∞)上为增函数．由此可知f(x)在x1=-2处取得极大值f(-2)=16+c，f(x)在x2=2处取得极小值f(2)=c-16.因为f(x)有极大值28，所以16+c=28，所以c=12.此时f(-3)=9+c=21，f(3)=-9+c=3，f(2)=c-16=-4，所以f(x)在[-3,3]上的最小值为-4.

追根溯源 该题的原型是课本人教A版选修2-2第32页习题1.3A组第6题(2)：求函数f(x)=x3-12x在[-3,3]上的最大值与最小值．显然要求函数f(x)的最大值与最小值，先求f′(x)，然后求方程f′(x)=0的根，并求出根所对应的函数值，与f(-3)，f(3)进行比较，其中最大的一个就是所求的最大值，最小的一个就是所求的最小值．

高考试题只是把课本原题中的三次函数f(x)=x3-12x，x∈[-3,3]变式成含有参数的三次函数f(x)=x3-12x+c，x∈[-3,3]，并融入函数的极值，考查考生处理综合性问题的能力．求函数f(x)在闭区间上的最值的步骤简记为：求f′(x)→求方程f′(x)=0的根→求出根所对应的函数值与端点的函数值→比较大小得结论．

从以上4例可窥，课本素材是高考考题编拟的蓝本，是“题根”“母题”．只要我们把握课本例、习题，灵活变换，深入思考，提炼这些问题的基本解法，那么不论高考函数题的构思多么新颖，我们都能做到以不变应万变，迅速抓住导数这个“纲”，函数考题就能迎刃而解.

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