生活中的优选策略

宋扬

[摘 要] 生活中处处有数学，优化、优选问题也时常可见. 本文主要通过实例，揭示了解决优选问题的策略和各种具体方法，显示出理论和实践相结合所产生的神奇魅力.

[关键词] 数学活动课；优选；最低费用；最大利润；最佳方案；核心素养

课题生活中的优选策略

事前准备

1. 开展家庭用电情况的调查. 调查内容：本市“峰电”价、“谷电”价、不使用“峰谷电”的电价；家中上个月（或前两个月）的电费支出，有否使用“峰谷电”？以及各自的用电度数.

2. 了解应聘旅游团“团长”的条件.

3. 初步学习营销的常识和基本概念.

活动内容和实施过程

1. 是否使用“峰谷电”？居民怎样选择，才能得到实惠？

（1）公布本市供电公司关于使用“峰谷电”的信息：

为了高效使用电力资源，既有利国家，又惠及百姓，从2012年1月起，居民“峰谷电”试行：每天8 ∶ 00～21 ∶ 00用电每度（千瓦时）0.56元（峰时电价），21 ∶ 00～次日8 ∶ 00每度0.36元（谷时电价），而目前不使用“峰谷电”的居民用电每度0.53元.

请各位同学看一看，所调查（或了解）的情况与本市供电公司的规定是否相同？

（2）小亮家使用“峰谷电”后，某月实际支付电费84元，已知“峰电”时的用量占用电总量的60%，请你帮助计算一下小亮家当月使用了“峰电”和“谷电”各多少度，比不使用“峰谷电”少支出多少钱.

（3）请大家计算一下：当“峰电”用电量不超过当月用电总量的百分之几时，使用“峰谷电”划算？

（4）家庭已使用“峰谷电”的同学，各人计算一下，自家上个月（或前两个月）“峰电”用量占用电总量的比值（百分数），并看看是否合算；家庭尚未使用“峰谷电”的同学，根据家里日常用电的实际情况，试估计一下这个比值（百分数），并建议家长是否要向供电公司申请使用“峰谷电”.

2. 请你当一回旅游团的“团长”

小刚打出了一条招聘广告：现有一个50人的旅游团，开展“乡村民俗”游. 旅游团住村民家，住宿客房有三人间、两人间、单人间共三种，收费标准是三人间每人每晚30元，两人间每人每晚50元，单人间每人每晚80元. 如果旅游团一次包住20间（或以上）客房，旅游团成员都可获赠一份土特产小礼品. 现招聘旅游团“团长”一名，其条件是：安排这次旅游住宿，使住宿费用最低，还要让旅游团成员都获得小礼品.

试一试，你能否应聘这个旅游团的“团长”？

（1）试写出住宿安排方案（列出相应的三元一次不定方程组）；

（2）求这个不定方程组的非负整数解；

（3）确定最佳方案，即住宿费用最低且获优惠的安排方案；

（4）旅游团住一个晚上，最低费用是多少？

3. 学习试当营销经理

一手机专卖店计划购进某品牌A型、B型、C型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机款61000元. 三款手机的进价和预售价如下表：

由你来确定手机进货的最佳方案，使预估利润达到最大.

（1）设购进A型手机x部，B型手机y部，请写出用含x，y的代数式来表示购进C型手机的部数；

（2）求y与x之间的函数关系式；

（3）假设所购进的手机全部售出，综合考虑各种因素，在购买、销售这批手机过程中需另外支出各种费用1500元.

①求出预估利润P（元）与x（部）的函数关系式；

（注：预估利润=预售总额-购机款-各种费用）

②求出预估利润的最大值；

③要获得最大利润，求出此时应购进A型、B型、C型手机各多少部，即求这批手机进货的最佳方案.

部分答案或解析

（3）设旅游团一个晚上的住宿总费用为F元，则F=90x+100y+80z=90（10+z）+100（10-2z）+80z，即得一次函数F=1900-30z. 因为一次项系數k=-30<0，所以F是减函数，即F随着z的增大而减少. 所以当z=5时，F最小.

（4）旅游团住一个晚上，最低费用Fmin=1900-30×5=1750元.

3. （1）60-x-y.

（2）由题意得900x+1200y+1100·（60-x-y）=61000，整理得y=2x-50（*）.

（3）①由题意有P=1200x+1600y+1300（60-x-y）-61000-1500，将（*）式代入并整理得P=500x+500.

③要获得最大利润，应购进A型手机34部、B型手机18部、C型手机8部.

活动创新素材

关于优化、优选问题的素材有很多，真可谓繁花似锦. 现精选一部分具有代表性的实例，并附解题提示和部分答案，以便于不同的教学阶段使用.

1. 某超市对顾客实行优惠购物，规定如下：若一次购物少于200元，不予优惠；若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠；若一次购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠.

小明两次去该超市购物，分别付款198元与554元. 现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，他需付款多少元？

提示：第一次付款198元，可能是所购物品的实价，未享受优惠；也可能是按九折优惠后所付的款，故应分两种情况加以讨论.

2. 某景点的门票价格如下表：

某校七年级一班和二班两个班级计划去游览该景点，其中一班人数少于50人，二班人数多于50人且少于100人. 如果两个班级分别以班为单位单独购票，则一共需支付1118元；如果两个班级联合起来作为一个团体购票，则只需花费816元.

（1）两个班各有多少名学生？

（2）联合购票与单独购票相比较，两个班各节约了多少钱？

提示：结合表格信息，建立方程組.

3. 某学校要为七年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本5元，大笔记本每本7元，钢笔每支10元，购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，三种奖品共花费346元. 若要使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？

提示：可建立三元一次不定方程组并求其正整数解.

4. 某工厂生产A，B两种型号的产品共50件，其生产成本与利润如下表：

若该厂计划投入资金不超过40万元，且希望获利超过16万元，问：该厂有哪几种生产方案？哪种方案为最佳方案？最大利润是多少？

提示：设生产A型产品x件，建立含x的不等式组，将问题转化为求x的正整数解并讨论.

本次活动课教学要领

1. 认真筹划好活动课事前准备工作，可提前7～10天印发活动课预习单，明确预习要求，让全班普遍行动起来，每个同学都有所准备.

2. 发挥数学兴趣小组的先行和引领作用，协助、配合活动课的开展. 兴趣小组成员可适当分工，每3～5人领一个专题（一项活动内容），各自做好重点准备.

3. 教学方式主要是引导式. 对每一项活动都可进行顶层设计、分步实施、逐步引导，最终到达目标. 对问题的讨论可采用大组与（邻近同学自由组合的）小组相结合的形式.

4. 老师指点精准、适时，并充分运用好多媒体教学手段，及时显示当前所要解决的问题、解决的过程和结果.

5. 与本次活动课链接的课本基础知识有：比值（含百分比）、代数式、方程（组）、不定方程（组）及非负整数解、不等式（组）、函数及增减性、最值等，联系较为广泛.

6. 活动创新素材待课后完成，可发动全班收集（每人1～2项），经汇总、整理、去重、修订，梳理出一些基本的和常见常用的类型，印发补充讲义，实现成果共享，扩大教学成效.

实践表明，数学活动课的教学生机盎然、成效显著、潜力巨大，是引导学生接触社会、学以致用、理论联系实际的一个重要平台，有助于学生核心素养的形成和提升.

目前，核心素养的研讨引起了教育界的高度关注，因为它直接关系到创新型人才的培养. 核心素养是素质教育的一脉相承，是在素质教育基础上的提升与发展. 要着力解决并增强核心素养在课堂教学改革中的实际问题，培育学生可持续发展的学习能力、综合实践能力、自主探究能力和创新能力.

虽然对核心素养的内涵和外延尚未确切界定，没有严格的定义，但其主要内容是明确的. 无疑，综合实践能力、探究创新能力是核心素养极为重要的组成部分，而数学活动课，尤其是数学的综合与实践活动课发挥着独特的、无可替代的作用. 数学新课标已经给我们指明了教学改革的正确方向，坚持不懈地努力，就一定能够达到预期的目标.