基于双原子模型的原子间相互作用势能数值分析*

王义伟,王月媛,胡建民

(哈尔滨师范大学)

*黑龙江省高等学校教改工程项目(SJGY20170198);黑龙江省高等教育学会教育科研课题重点项目(16Z040)

0　引言

固体原子间的相互作用势能是固体物理学晶体结合教学的重要内容，由双原子模型确定的相互作用势能表示为[1]

(1)

目前，关于双原子分子势能函数的研究工作大体上可分为三方面.首先，为进一步提高双原子分子势能函数精度，Wei H[2]、胡旭光[3]和于长丰[4]等学者分别在(1)式的基础上构造了四参数和六参数双原子势能函数.其次是关于双原子分子势能函数研究的分析和评述工作.罗旋等学者[5]针对金属和半导体讨论原子间相互作用势函数的应用范围，而刘国跃[6]根据双原子分子势能函数发展过程中存在的主要问题提出其未来发展趋势.再次是关于双原子分子势能函数基本性质的研究.蒋亚静[7]针对线性和非线性谐振子模型研究理想双原子分子势能的基本性质；郑瑞伦[8]研究原子相互作用势能和原子振动非简谐效应对固体弹性模量的影响，结果表明第一非简谐系数的存在使体系的弹性模量增大.综上所述，上述研究成果为固体物理教学和科学研究提供了很好的理论依据和参考.在双原子模型的基础上深刻理解势能函数的基本性质是固体物理教学的重要内容， 势能函数展开项产生的简谐效应和非简谐效应直接影响固体的诸多物理化学性质，所以分析相互作用势能参数及其展开项对势能函数的影响进而揭示固体基本性质的变化规律对于固体物理教学和科技工作者进行材料设计和性能分析都具有重要的理论指导意义.然而，关于双原子模型势能参数和势能函数展开项对势能函数基本性质的影响规律均未见报导.在材料的研究和制造的工作当中，如果观察随势能函数中各参数变化，影响材料性的变化，可以更好的控制材料的性能.

该文通过分析原子间相互作用势能研究势能参数和势能展开项对势能函数的影响，揭示原子平衡间距、抗张强度和弹性模量等基本性质变化的基本规律，旨在为固体物理教学和相关科技工作者提供直观的物理图像和基本的理论分析依据.

1　原间相互作用势能函数基本参数

图1 　原子间相互作用力与原子间相互作用势能对比图

为直观分析势函数中的吸引能指数m和排斥能指数n对相互作用势能和相互作用力的影响，该文分别取吸引能系数和排斥能系数为定值a=3和b=1.图2和图3分别为吸引能指数和排斥能指数取不同值时相互作用势能和相互作用力随原子间距离变化的关系曲线.

图2 　吸引能指数 m对相互作用势能和力的影响

图3　排斥能指数n对相互作用势能和力的影响

抗张强度和弹性模量是反映晶体性质的两个重要力学参量.其中，抗张强度为晶体所能负荷的最大张力，如果负荷超过抗张强度晶体就会发生断裂.在一维情况下抗张强度表示为

(2)

由(2)式可知，抗张强度就是理论断裂点处对应的最大相互作用力.弹性模量等于压缩系数的倒数，在一维情况下表示为

(3)

由(3)式可见，弹性模量与相互作用力曲线在平衡位置处的斜率成正比.

首先，由图2可见，原子间相互作用势能和作用力曲线均随吸引能指数m的增加发生较明显的变化.原子平衡间距随吸引能指数m的增加而缩短，其根本原因是随吸引能指数的增加，在原子间距一定的情况下相互作用力表现为引力，从而在达到新的平衡状态后原子平衡间距缩短.其次，随着吸引能指数m的增大，原子间相互作用力的极值点下降说明体系的抗张强度增大；此外，原子间相互作用力曲线在平衡间距处的斜率增大.由于曲线斜率变化明显大于平衡间距的变化从而导致体系的弹性模量增大.

由图3可见，相互作用势能和作用力曲线均随着排斥能指数n的增大发生明显变化.随着排斥能指数n的增加，原子平衡间距增长，相互作用力极值点下降，原子间相互作用力曲线斜率增大，同样说明体系的抗张强度和弹性模量增大.此外，原子平衡间距随排斥能指数n的增加而变长的原因是在原子间距一定的情况下相互作用力表现为斥力，从而在达到新的平衡状态后导致原子平衡间距变长.

为直观分析势函数中的吸引能系数a和排斥能系数b对相互作用势能和相互作用力的影响，该文分别取吸引能指数和排斥能指数为定值m=1和n=3.图4和图5分别是吸引能系数a和排斥能系数b取不同值时相互作用势能和相互作用力随原子间距离变化的关系曲线.首先由图4可见，相互作用势能和相互作用力曲线均随吸引能系数a的增加而下降，原子平衡间距缩短，原子间相互作用力曲线在平衡间距处的斜率增大.上述变化说明体系的抗张强度和弹性模量均随吸引能系数a的增加而变大.原子平衡间距随吸引能系数a的增加而缩短的原因类同图2的相应解释.其次由图5可见，相互作用势能和相互作用力曲线均随排斥能系数b的增加而上升，原子平衡间距变长，原子间相互作用力曲线在平衡间距处的斜率减小.上述变化说明体系的抗张强度和弹性模量随排斥能系数b的增加而减小.原子平衡间距随排斥能系数a的增加而变长的原因类同图3的相应解释.

图4　吸引能系数对相互作用势能和力和的影响

图5　排斥能系数对相互作用势能和力的影响

2　原子间相互作用势能展开项

针对双原子模型取两原子间的相对位移为x.平衡状态下以其中一个原子为坐标原点，另一个原子位置在r0处，原子发生振动产生位移后的位置为r=r0+x.为揭示原子间相互作用势能的内在物理意义通常将原子相互作用势能在平衡位置处按泰勒级数展开为[9]

(4)

展开式(4)中第一项为常数，第二项为零，第三项为偶次项也称为简谐项，第四项为奇次项也称为非简谐项.在只考虑简谐项而忽略非简谐项的情况下，可通过牛顿运动方程求解晶格振动的基本规律进而解释固体的热熔问题，而只有在考虑非简谐项的情况下才能解释固体的热膨胀现象.

为直观反映各展开项对相互作用势能的影响，该文分别给出(4)式中考虑不同展开项时相互作用势能曲线的变化规律，如图6所示.图6中曲线1表示由(1)式进行泰勒展开前的相互作用势能曲线，曲线2为(4)式中考虑二次项而忽略更高次项情况下的相互作用势能函数曲线，曲线3为(4)式中考虑三次项而忽略更高次项情况下的相互作用势能函数曲线，以此类推得到曲线4～曲线8.由图6可见，随着展开项项数的增加，相互作用势能的极值和原子平衡间距不变，平衡间距左侧的势能曲线斜率增大并逐渐接近展开前的势能曲线.首先，相互作用势能的极值和原子平衡间距不随展开项项数变化，说明展开项项数的增加不改变体系的平衡状态.此外，平衡间距左侧的势能曲线斜率增大意味着体系的弹性模量增大并逐渐逼近真实值，这说明利用势能展开式讨论固体性质是要依据所讨论问题的需要对展开项进行合理取舍.最后，由图6可见，虽然平衡间距右侧的势能曲线随展开项项数的增加变化悬殊，但最终趋势还是逐渐逼近展开前的势能曲线.

图6　不同展开项项数情况下的双原子相互作用势能曲线

3　结论

该文通过研究双原子模型原子间相互作用势能参数和势能展开项对相互作用势能及相互作用力的影响，揭示原子平衡间距、抗张强度和弹性模量等基本性质变化的基本规律.研究结果表明，随相互作用势能参数即吸引能指数、排斥能指数、吸引能系数和排斥能系数的增大以及势能展开项项数的增加，相互作用势能和相互作用力曲线均发生明显变化.首先，原子平衡间距随吸引能指数和吸引能系数的增大而缩短，随着排斥能指数和排斥能系数的增大而加长.其次，抗张强度随吸引能指数、排斥能指数和吸引能系数的增大而增大，随排斥能系数的增大而减小；弹性模量随吸引能指数、吸引能系数和排斥能系数的增大而增大，随着排斥能指数的增大而减小.最后，随相互作用势能展开项项数的增加原子平衡间距不变，而弹性模量增大.上述研究结果既可为深刻地认识固体物理模型的内在机制提供有效途径，同时也可为材料分析和设计提供必要的理论指导.

[1]方俊鑫，陆栋．固体物理学[M]．上海：上海科学技术出版社，1983.

[2]Wei H. Four-parameter exactly solvable potential for diatomic molecules. Phys Rev A, 1990, 42(5): 2524.

[3]胡旭光．四参数双原子分子势能函数[J]．西安石油学院学报，1993，8(1)：90-94.

[4]于长丰，王志伟. 六参数高精度双原子分子解析势能函数[J].计算物理，2012，29(4)：656-664.

[5]罗旋，费维栋，王煜明.固体中的原子间相互作用势[J].物理，1997，26(1)：14-17.

[6]刘国跃．双原子分子势能函数的研究进展[J].绵阳师范学院学报，2005，24(5)：46-51.

[7]蒋亚静．双原子分子势能函数谐振子模型[J].新乡学院学报，2014，31(4)：10-11.

[8]郑瑞伦，田德祥，龙晓霞．原子相互作用势对固体弹性模量的影响[J].西南师范大学学报，2003，28(6)：892-896.

[9]胡建民，周胜，信江波，等．固体物理学教程[M]．哈尔滨：东北林业大学出版社，2010.