导数常见错误剖析

刘宇琪

导数是研究函数的重要的方法，理解导数的概念、掌握导数研究函数的方法至关重要. 在学习中，我们利用导数研究函数问题时常会犯一些错误，从根本上认识这些错误的原因，追根溯源，才能更好地掌握导数.

复合函数的导数的理解问题

例1 已知[y=（1+cos2x）2]，则[y=] .

错解 [y=-2sin2x（1+cos2x）]

分析 对复合函数求导数的计算不熟练，[2x]与[x]系数不一样，也是一个复合的过程，有的同学忽视了它而导致错解.

正解 设[u=1+cos2x]，[y=u2]，

则[yx=yuux=2u（1+cos2x）=2u?（-sin2x）?（2x）]

[=2u?（-sin2x）?2=-4sin2x（1+cos2x）.]

[∴][y=-4sin2x（1+cos2x）].

导数的几何意义的理解问题

例2 已知曲线[S：y=-23x3+x2+4x]及点[P（0，0）]，求过点[P]的曲线[S]的切线方程.

错解 由题意得，[y=-2x2+2x+4].

[∴]过点[P]的切线斜率[k=y|x=0=4].

[∴]过点[P]的曲线[S]的切线方程为[y=4x].

分析 曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值，这是导数的几何意义. 在本题中，点[P]凑巧在曲线[S]上，求过点[P]的切线方程，却并非说切点就是点[P]，上述解法混淆了求过点[P]的切线方程和求曲线在点[P]处的切线方程，认识不到位.

正解 设过点[P]的切线与曲线[S]切于点[Q（x0，y0）]，则过点[P]的曲线[S]的切线斜率为

[k=y|x=0=-2x20+2x0+4].

又[kPQ=y0x0]，

[∴-2x20+2x0+4=y0x0].①

[∵]点[Q]在曲线[S]上，

[∴y0=-23x30+x20+4x0]. ②

将②代入①得，[-2x20+2x0+4=-23x30+x20+4x0x0.]

化简得，[43x30-x20=0].

[∴x0=0]，或[x0=34].

若[x0=0]，则[k=4]，

过点[P]的切线方程为[y=4x].

若[x0=34]，则[k=358]，

过点[P]的切线方程为[y=358x].

[∴]过点[P]的曲线[S]的切线方程为[y=4x]，或[y=358x.]

导数判断单调性的理解问题

例3 已知函数[f（x）=mx2+lnx-2x]在定义域内是增函数，求实数[m]的取值范围.

错解 由题意得，[f（x）>0]，即[2mx+1x-2>0]恒成立，解之得，[m>12].

分析 “函数[y=f（x）]为增函数”与“[f（x）>0]”并不是互为充要条件的.

（1）[f（x）>0?][y=f（x）]为增函数；

（2）[f（x）<0?][y=f（x）]为减函数；

（3）[y=f（x）]为增函数[?f（x）≥0]；

（4）[y=f（x）]为减函数[?f（x）≤0].

正解 由題意得，[f（x）≥0]，即[2mx+1x-2≥0]恒成立，解得，[m≥12-12（1x-1）2≥12].

极值点和变量的理解问题

例4 已知函数[fx=4x3-3x2cosθ+316cosθ]，其中[x∈R，θ]为参数，且[0≤θ≤2π].

（1）当[cosθ=0]时，判断函数[fx]是否有极值；

（2）要使函数[f（x）]的极小值大于零，求参数[θ]的取值范围.

错解 （1）当[cosθ=0]时，[f（x）=12x2].

令[f（x）=0]，则[x=0].

（2）随[x]的变化，[f（x）]的符号及[f（x）]的变化情况如下表.

因此，函数[f（x）]在[x=cosθ2]处取得极小值[f（cosθ2）]，且[f（cosθ2）=-14cos3θ+316cosθ].

要使[f（cosθ2）>0]，必有[-14cosθ（cos2θ-34）>0]，解得，[0

由于[0≤θ≤2π]，故[π6<θ<π2，或3π2<θ<11π6].

分析 （1）对极值点定义理解不清. ①不可导函数，在某点处的导数不存在，但可以是极值点. 如函数[y=|x|]在点[x=0]处有极小值[f（0）=0]，可是这里的[f（0）]根本不存在. ②可导函数的极值点的求法分为两步：第一步求[f（x）=0]的[x]值，第二步必须判断导数为0的点左右两边导数的符号不同. 如函数[f（x）=x3]的导数[f（x）=3x2]，在点[x=0]处有[f（0）=]0，而[f（x）]在[（-∞，+∞）]上为增函数可知，点[x=0]不是[f（x）]的极值点.

（2）没有考虑到[cosθ]的符号，直接作答. 对于参数问题一定要考虑到范围问题.

正解 （1）当[cosθ=0]时，[f（x）=4x3]，则[f（x）]在[（-∞，+∞）]上是增函数，故无极值.

（2）[f（x）=12x2-6xcosθ]，

令[f（x）=0]得，[x1=0，x2=cosθ2].

下面分两种情况讨论.

①当[cosθ>0]时，随[x]的变化，[f（x）]的符号及[f（x）]的变化情况如下表.

因此，函数[f（x）]在[x=cosθ2]处取得极小值[f（cosθ2）]，且[f（cosθ2）=-14cos3θ+316cosθ].

要使[f（cosθ2）>0]，必有[-14cosθ（cos2θ-34）>0]，解得，[0

又[0≤θ≤2π]，故[π6<θ<π2，或3π2<θ<11π6].

②当[cosθ<0]时，随[x]的变化，[f（x）]的符号及[f（x）]的变化情况如下表.

若[f（0）>0]，则[cosθ>0]. 与[cosθ<0]矛盾.

所以当[cosθ<0]时，[f（x）]的极小值不会大于零.

综合①②知，要使函数[f（x）]在[（-∞，+∞）]上的极小值大于零，参数[θ]的取值范围为[（π6，π2）?（3π2，11π6）].