观察·猜想·证明

李应志

摘要：随着教育教学改革的不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向学生自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题. 从数学的产生和发展历程来分析，不外乎就是三个环节：实际问题→分析探索→结论论证.目前，数学教学实际上只注重最后一个环节，忽视了探索问题的这一重要环节，忽视了发明创造的过程.本文旨在从数学的形成过程（观察→猜想→证明）来探讨数学教学中如何培养和提高学生的数学思想和方法.

关键词：数学思想方法 观察 猜想 证明 数学教学 数学归纳法

【中图分类号】G634.6

在人类社会发展的历程中，科学技术始终推动着社会的进步和发展，而人类的许多发现与发明常常经历三个阶段： 观察→猜想→证明（验证）. 当我们探究某个问题时，也常常应用这种思想方法.数学中许多命题的发现、思路的形成和方法的创造，都可以由学生通过数学猜想而得到，它是一种重要的数学思想方法，在数学教学中有着重要的意义.数学家波利亚认为，在数学教育中，证明与猜想这两类推理都必须教给学生，在有些情况下教猜想比教证明更为重要.现代教育思想提出：在数学教学中，不应该只注重结果，更应该注重过程.因此，在教学中要充分展示知识的形成过程，使数学学习成为再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识和能力，这是深化数学教育改革、实施素质教育的关键.

在数学教学中，如何培养学生的创新意识和能力， 使学生学会“观察→猜想→证明”是一种非常重要的途径，它能激发学生去思考、大胆地提出问题，理性地分析和解决问题.下面通过例子说明这种思想方法在数学教学中的应用.

一. 观察要有任务性和目的性

为了达到一定的教学目标，教师首先要给学生创设良好的学习情景，给出相关的背景材料，激发学生进行观察，引导学生怎样观察，观察什么.例如，在教学集合的子集个数问题时，先提出问题：如果集合A由n个元素组成，你能猜测A的子集共有多少个？并用列表来观察，通过观察，学生思维很活跃，调动了学生的积极性.

学生通过上面的观察、分析，容易猜想：子集的个数为2n；接着思考：这个结论正确吗？怎样证明？

二. 鼓励学生大胆猜想，养成善于猜想的数学思维习惯

学生通过仔细观察背景材料后，教师要引导开展各种归納、类比等丰富多彩的探索活动，鼓励他们提出数学猜想和创见，培养他们敢于猜想、善于探索的创新精神.

例如，上面子集的个数问题，应该让学生自己去发现，教师不能代替，让学生有充足的时间和空间，发挥他们丰富的想象.

再如，在教学等差数列通顶公式时，学生首先认识和理解了等差数列的基础上，并通过观察等差数列： 的前几项：

到此，让学生说出 已很容易，这时过渡到 是水到渠成了，学生成了知识的探索者和发现者.

三. 证明要严密，方法要多样化

学生通过观察、猜想得出的结论，往往是用归纳、类比得出的结论，往往也是错误的，因此，必须要通过证明成立，才能体现出真正的价值.证明的方法很多，常用的有演绎法、完全归纳法、数学归纳法等等.例如，在教学球的体积公式时，教师可让学生观察等底、等高的圆柱体、半球、圆锥，已知圆柱体体积= ，圆锥的体积= 并从图形可看出：

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这个结论是否正确呢？学生很怀疑，只能通过证明来检验其真实性，教师可引导学生利用祖暅原理来论证了.（略）

再如，在教授数学归纳法的内容时，学生先观察：

不等式

用什么方法证明呢？可让学生思考，然后引导学生用图象法、数学归纳法证明.采用观察→猜想→证明的思想方法来教学的内容还有很多，如欧拉公式、与自然数有关的命题等等.

四、在中学数学教学中，很多内容都可采用这种思想方法来教学

在传统教学中， 只要求学生掌握某某结论、定理、公式的证明，不要求了解这些结论、定理、公式是怎样产生和形成，造成学生学习知识时，只注重结果，不重视过程的被动局面.根据素质教育的要求，应培养学生独立思考、勇于探索、学会创新的精神. 在数学教学中，如何实现这一目标， 我认为，遵循观察→猜想→证明的步骤和方法是一种重要的途径， 而且在中学数学教学中，很多内容都可引用这种方法来教学，在这一思想方法中，观察是基础，猜想是关键，证明是必要，这种教学真正体现了学生的主体性，使学生从学会知识转变为会学知识，从被动学习变为主动学习，是培养学生的创新意识和探索发现精神的重要途径.

参考文献：《中学数学思想方法》北京师范大学 钱佩玲著、

《古今数学思想》 M·克莱因著.