浅析导数在高中数学中的应用

李 凯



浅析导数在高中数学中的应用

李 凯

（贵州省六盘水师范学院 贵州 六盘水 553000）

导数是微积分中的基本概念，是近代数学的基础。导数的引入，为很多问题提供了新的视野，在高中数学教学中，导数在很多方面都有着重要应用。一线高中数学教师要充分认识到导数思想对学生学习的重要意义，将导数作为工具融入到其他知识的教学中。本文主要从函数单调性、函数极值、函数最值、绘制函数图像、不等式证明、数列研究等六个方面阐述导数的重要应用，以期给一线数学教师及高中学生提供参考。

导数；应用；函数；数列；不等式

引言

导数的产生、发展凝聚着几代数学家的心血，具有浓厚的时代背景和重要的历史意义。导数思想最初是由法国数学家费马为研究极值问题而引入的，但与导数概念有直接联系的是已知运动规律求速度和已知曲线求切线的问题，是由英国数学家牛顿和莱布尼茨分别在研究力学和几何学过程中建立起来的[1]。导数产生后就有了广泛的应用，下面我们具体分析导数在数学领域的广泛应用。

1 导数在判断函数单调性方面的应用

单调性是函数的一个重要性质，刚接触单调性时，我们是直接用定义来判断函数单调性的，操作起来复杂而繁琐。而导数法可以避免繁琐的程序，只需按照固定的步骤运算即可，大大简化了判断函数单调性问题。

在求解函数单调性时，只需计算这一区间上导数值的正负，导数值为正，则函数在这一区间上单调递增，如果导数值为负，则函数在这一区间上是单调递减的。可以说，在研究函数单调性时，导数起到了关键作用。与之前的定义法证明函数单调性相比，导数法简单而程序化，是一种更具有可操作性的方法，为研究函数的单调性提供了极大的便利[2]。在数学教学中，导数一直是研究函数单调性的重要工具，一线教师要充分培养学生运用导数的意识，使学生遇到求解函数单调性或单调区间的问题时，优先考虑导数法。

2 导数在研究函数极值方面的应用

导数在求函数的极值时也有着非常重要的作用，前面我们已经讨论了利用导数研究函数单调性的问题，而极值与函数单调性息息相关，现在我们在前面的基础上进一步讨论导数在研究函数极值时的应用。

极值是指函数在某点附近的一个局部的最大值或最小值，极值并不是在整个区间上的大小比较。如果某个值是函数的一个极大值，只能说明在一点附近它是函数的最大的值，但对于函数的整个定义域来说，不一定是最大值。对于极小值来说也是同样的道理。

在利用导数求函数极值时，首先要对所研究的函数进行求导，令导数等于零求出导函数的零点，零点将函数的定义域分割成几个区间，分别判断导函数在各个区间上的正负，得到各区间上函数的单调性，若对于某个零点，其左侧函数是单调递增的，右侧是单调递减的，则其为极大值点；若对于某个零点，其左侧函数是单调递减的，右侧是单调递增的，则其为极小值点。

3 导数在研究函数最值和值域中的应用

在生活、生产、工程、科学研究的各个领域中，我们经常会遇到求利润最高、成本最低、面积体积最大，周长最小等问题，其实这些问题就是求解函数的最值问题的具体应用。前面我们已经研究了导数在求函数极值中的作用，这里我们将继续研究导数在求函数最值上的应用。

函数的连续性告诉我们，假设函数在某闭区间上是连续不断的，那么函数在这一闭区间上就一定会有最大值和最小值[3]。如果函数在开区间上能取得最值，我们知道其最值一定是函数的极值，但是函数的最值也有可能在端点处取到，此时我们认为函数在开区间上不能取得那个最值。

求函数在闭区间上的最值时，我们先按照求极值的方法求出函数在相应的开区间上的极值，再计算端点处的函数值，将所有极值和端点处的函数值进行大小比较，最大的即为最大值，最小的即为最小值。导数在解决函数最值问题时方法步骤也都是固定的，给我们解决问题提供了极大的方便。解决了函数的最值问题，函数的值域问题也就迎刃而解了。关于导数在求解函数值域方面的问题，可以参考求函数最值问题，在此不再赘述。

由函数准确的图像我们能够直观的观察其最大最小值。但是对于大部分函数来说，准确图像难以做出，也就难以从图像入手得到函数的最大值和最小值。导数为我们提供了用代数法解决函数极值与最值问题的新途径，是一种简洁又实用的方法。一线教师在教学时，要引导学生学会区分函数的极值与最值，并牢固掌握利用导数求函数最值与极值的方法，在这个过程中充分体会导数的意义与价值。

4 导数在绘制函数图像中的应用

在前面的章节里，我们已经讨论了利用导数研究函数各种性质的方法，在此基础上，我们可以绘制函数的图像。用导数绘制函数图像的步骤如下：

（1）首先我们要求出函数的定义域，确定图像的范围，也就是明确函数的最大值最小值；

（2）讨论函数的奇偶性、有没有对称轴，对称中心，判断函数是否有周期性，如果有，周期也要计算出来；

（3）讨论曲线的渐近线，然后考虑图像延展到无穷远处时的形态；

（4）求出使函数的导数和二阶代数为零的点及函数的导数或二阶导数不存在的点，列表讨论确定函数的极值、图像的增减、凸向及拐点；

（5）描出曲线上已求得的几个特殊点，比如与极值点相应曲线的点、拐点，还有曲线与坐标轴的交点。必要时再补充一些较好求的点。并按照上述步骤中所得到的信息逐段进行绘图。

5 导数在不等式证明中的应用

不等式的证明是数学中一个重要的课题，不等式证明的方法多样，对于不同的问题可以灵活选取不同的方法[4]。如果题目中所给的函数是可导函数，并且可以构造出一个合适的函数时，我们可以考虑用导数来证明不等式。如果题目中所给的函数不是可导函数，就无法用导数来证明不等式了。所以对于所给题目我们应该首先判断是否是可导的。

利用函数单调性证明不等式适用于所给的不等式是在某个区间上成立的，这种方法最重要的是构造合适的辅助函数。在构造辅助函数时，最基本的思路是做差，如在区间I上证明f(x)>g(x)，可做差构造函数F(x)=f(x)-g(x)，然后求导研究函数在区间I上的单调性，根据单调性证明不等式。除了做差，我们还可以通过作商，取对数等来构造辅助函数。

6 导数在数列中的应用

前面我们详细介绍了导数在函数中的应用，数列是特殊的函数，这就使我们自然而然的想到导数也能够解决数列中的某些问题[5]。利用导数研究函数的单调性是我们所熟知的，但我们知道，只有在连续的区间上，求导才是有意义的，而数列是定义域为+的不连续的函数，若想用导数研究数列的单调性问题，我们必须构造辅助函数。在构造辅助函数时，一般构造连续函数，若辅助函数有奇异点，则分区间进行讨论。根据数列的单调性我们可以进一步确定数列中的最大项、最小项。可以说，导数在数列中有着广泛应用。

7 结论：

一线数学教师要在知识的讲授中充分融入导数思想，让学生体会到导数可以使复杂问题简单化，在解决问题时具有轻便性和技巧性，体现了数学形式化的美。导数在高中数学各个方面的应用，为其注入了新鲜的血液，提供了研究问题的新途径，可以说，导数在高中数学中的地位是不可替代的。

[1]杨怡宁.导数在不等式证明中的应用研究[J].经贸实践,2018(02):326.

[2]张美娟.高中数学“导数及其应用”的教学研究[D].西北大学,2017.

[3]韦问敏.高考数学导数试题解题研究[D].云南师范大学,2017.

[4]韩栋.高中数学中导数解题策略教学研究[D].西北大学,2016.

[5]王锦.导数在中学数学中的应用[J].成功(教育),2012(08):187.

derivative is the basic concept of calculus and the foundation of modern mathematics. The introduction of derivative provides a new perspective for many problems. In mathematics teaching in senior high school, derivative has important application in many aspects. First line high school mathematics teachers should fully realize the importance of derivative thought to students' learning, and integrate derivative as a tool into the teaching of other knowledge. This paper expounds the important application of derivative from six aspects, such as function monotonicity, function extreme value, function maximum value, drawing function image, inequality proving and number sequence research, in order to provide reference for first-line mathematics teachers and senior high school students.

derivative; Application; function; sequence; inequality

10.19551/j.cnki.issn1672-9129.2017.11.163

G633.6

A

1672-9129(2017)11-0136-02

李凯，贵州省六盘水师范学院，专业：数学与应用数学