圆锥曲线焦点弦问题的两个推广

广东省广州市协和中学(510160) 叶超

圆锥曲线焦点弦问题的两个推广

广东省广州市协和中学(510160) 叶超

圆锥曲线有关的焦点弦问题备受命题人关注,因该问题往往可以联系到直线的倾斜角,离心率,向量定比分点,弦长等有关知识点,能够很好地考察学生数形结合思想,方程思想.笔者根据一道高二文科数学期中复习卷的考题,在经历阅卷,讲评,反思后生成了相关问题的两个推广.

试题再现设椭圆C:=1(a＞b＞0)的右焦点为F,过点F的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60°,.求椭圆C的离心率.

解法1(通法)设A(x1,y1),B(x2,y2),依题意知F(c,0),直线l的方程为y=(x-c).联立

消去x得

由韦达定理知

点评该问题属于典型的直线与圆锥曲线相交的综合问题,班里多数学生能够走完联立方程组,罗列韦达定理一套规定动作.然而,在考试时未能及时地通过向量等量关系,理顺点A与点B纵坐标之间关系,导致无法得出a,b,c的等式.也有少数同学因运算能力有待提高,未能在规定时间内求得正确结果.

解法2 (几何法)如图1设F1为椭圆的左焦点,连结AF1,BF1,依题意知∠AFF1=60°,∠BFF1= 120°.设|BF|=k(k＞0),那么|AF|=2k.由椭圆定义知,|AF1|=2a-2k, |BF1|=2a-k.在△AFF1中应用余弦定理有4(a-k)2= 4k2+4c2-2×2c×2k×cos60°整理得

图1

同理,在△BFF1中应用余弦定理可以得到

小结圆锥曲线的离心率的取值问题多见于高考的选填题或是解答题第1问,解答此类问题关键在于结合题意列出a,b,c的齐次等式或者不等式,并消去b,化为只含离心率e的式子,方能求解离心率的取值.解法2利用了椭圆的定义以及余弦定理来沟通焦点三角形的边角关系,可以有效减少坐标法运算带来的不便,原理简易,数与形相结合,学生乐于接受.若改变直线的倾斜角或向量的等量关系,亦或将椭圆换成双曲线,又需重复上述类似工作,难免心生遗憾.

问题的推广1

解法1 如图 2,过点A作AD⊥x轴,垂足记作 D.根据圆锥曲线的统一定义知,|AF|= d1×e,而d1=-c+ |AF|cosθ,代入上式,得到|AF|==. 同理,算得|BF|=.

图2

解法2 连结AF1,BF1,设|BF|=k(k＞0),那么|AF|=λk.由椭圆定义知,|AF1|=2a-λk,|BF1|=2a-k.在△AFF1中应用余弦定理有,(2a-λk)2=λ2k2+4c2-2×2c×λk×cosθ,整理得,

同理,在△BFF1中应用余弦定理可以得到

问题的推广2

解如图3,过点A作 AD⊥x轴,垂 足 记 作D.根据圆锥曲线的统一定义知,|AF|= d1×e, d1=|AF|cosθ+c-,带入上式,可得 |AF|=,同理,|BF|=.

图3

化简得

进一步有双曲线的焦点弦长公式|AB|=|AF|+|BF|=.

两个重要结论设椭圆C:=1(a＞b＞0)(或双曲线E:=1(a＞0,b＞0))的右焦点为F,过点F的直线l与椭圆C(或双曲线E)相交于A,B两点,直线l的倾斜角为θ,(λ＞0且λ/=1).则

对于上述离心率公式,三个量e,λ,θ知二求一.特别地,当直线l的倾斜角θ=90°,通径|AB|=也成立.

[1]刘金平,由椭圆焦点弦问题导出的两个重要公式[J].中学数学教学参考,2016,11.