数学学习与研究不能“跟着感觉走”—“推理与证明”的教学研究和启发

江苏省徐州市第一中学(221000) 马芹

数学学习与研究不能“跟着感觉走”—“推理与证明”的教学研究和启发

江苏省徐州市第一中学(221000) 马芹

数学学习与研究“跟着感觉走”并不是以个例的形式存在,尤其是在学习成绩中等及以下的同学身上表现明显,可以说这是他们学习成绩无法取得进步的一个非常重要的因素.这种问题的形成原因与学生的惰性、急于求成等不良习惯有直接关系,但也与教师的教学认知和习惯有很大关系.

1问题的提出

在数学教学中,很多时候教师会发现一些同学在分析问题、解决问题的时候这样说：“我觉得是这样的”.这就是学生数学学习研究“跟着感觉走”最直接的表现方式,而有这种习惯的学生,一般他的数学学习能力和成果不会太好,而且这个现象尤其在学困生身上表现更明显,甚至“胡扯”的解决过程也屡见不鲜.这些情况为什么会出现,怎么解决?诸如此类的问题通常都会被“该生学习习惯不好”或“该生学习能力不高”而掩盖,从而被教师们忽略而未加以深究.但通过对的“推理与证明”教学的研究和发现猛然敲醒了笔者,故而整理如下,以期抛砖引玉.

2问题的分析

2.1 “推理与证明”教材分析

推理与证明是课程标准中新增加的内容.本章内容分为“合情推理与演绎推理”、“直接证明与间接证明”、“数学归纳法”三个部分.

在义务教育阶段的数学课程中,学生对演绎推理、数学证明、公理化思想、合情推理等只有初步的认识和体会,本章的主旨意图是让学生结合已经学过的数学实例和生活中的实例,对合情推理、演绎推理以及数学证明的方法进行概括与总结,体会合情推理、演绎推理以及数学证明在数学结论的发现、证明与数学体系建构中的作用,从而让学生进一步加深对推理与证明的理解,掌握推理与证明的基本方法,提高数学思维能力,形成对数学较为完整的认识.

2.2 教学实际情况和成果分析

经过多个周期的观察笔者发现,对于推理证明的教学设计,绝大多数教师的安排都是把以下几个方面作为教学目标的重点：能利用归纳和类比等方法进行简单的推理、能利用分析法、综合法、反证法解决问题、能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,实现这些目标的方式一般是通过练习的分析处理来实现.而演绎推理一般同推理案例赏析的处理方法相同：赏析、了解就好.

仔细分析,不难发现这样的安排实质是紧跟高考的指挥棒,考什么教什么,怎么考怎么教.不可否认,无论是从实际出发还是从实质出发,这样的安排都有一定的道理,因为这些确实是重点.但如果认真细致地研究学生的学习和掌握情况,我们会发现两个被我们忽略的问题.一是通过习题的分析和训练是否能实现教学目标;二是演绎推理我们只要能明白推理形式就可以了吗?实践证明这是不行的,从以下两个案例可见一斑.

案例一(普通高中课程标准实验教科书选修2-2第72页第3题第(1)题)把下列推理回复成完全的三段论：因为△ABC三边的长依次为3,4,5,所以△ABC是直角三角形.

绝大多数同学给出的解答如下：

直角三角形中a2+b2=c2(大前提)

三角形ABC三边长为3,4,5(小前提)

△ABC为直角三角形(结论)

错误原因很显然：他们仅仅只了解了演绎推理的“形”,而未弄清演绎推理的“实”.此处的大前提应该改为：若一个三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,则这个三角形是直角三角形.大前提应该是由小前提得到结论的理论依据.

案例二(普通高中课程标准实验教科书选修2-2第87页第2题)求证：当a＞1时,.

这道题会有很多同学会这样写：要证

只要证

所以

所以a2-1＜a2,所以-1＜0,综上可知：

本题错误原因绝不只是因为一个“懒”字,而是学生根本没有去思考为什么要写“要证”、“只要证”之类的文字.

另外,在课本书后练习中,有不少题目考查的是三角、数列、不等式等部分的知识.这些知识、问题本身就比较灵活,更重要的是学生因学习时间已经过去较久,故而遗忘的东西太多,因此在解决问题时绝大多数精力都放在知识的回忆中了,怎么可能专心致志地体会本章的知识及运用呢?故而笔者认为本章的重点不是如何解决问题,而是如何应用本章的知识去解决问题并弄清应用的理由.

2.3 教学实况的深入分析和折射

结合我们实际的教学经验,我们会发现不止本章学生有典型错误,其它章节也有很多类似的案例.比如,已知三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱时,有不少学生会这样用此条件：因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,所以平面ABB1A1⊥平面ABC;又比如,解不等式1时,不少同学这样解：因为,所以x+1＞1,所以x＞0;再比如,求函数的减区间,答案(-1,0)∪(0,1)会“前仆后继”地出现,诸如此类,数不胜数.

这些都是典型的错误,这样的错误遍布各个章节,这样的错误经历无数遍仍会出现,而且最关键的是当这些错误出现的时候,会有同学理直气壮地向老师发问：“我这儿为什么错?”.这么显而易见的问题为何如此难以解决呢?

首先是这些错误出现的原因,不是学生因不会而乱写,而是他们“觉得”对.再者是教师没有发现真正的错因,通常把错因归咎于学生“懒”或“习惯不好”.真正的原因不被发现,那错误就会一直延续.真正的错因到底是什么?笔者认为就在“觉得”两个字上.他们解决问题都是凭感觉,这肯定经不住推敲.凡是解决问题“跟着感觉走”的,就没有考虑每一步推导的理论依据的习惯,也就是不知道演绎推理中的“大前提”及其作用.

所以本章的内容设置不仅不是可有可无的,反而给“学生的学、教师的教”提供了一个寻根究底、反思总结的“源”.

3教学的建议

3.1 勿以题练手而忽略对基础知识本身的思考探索

数学学习与研究,不做题无疑是不行的,但只做题肯定也是不行的.这不仅仅是说题海战术不可取,更重要的是不能让学生陷入机械地模仿中去.数学问题的解决过程多数是演绎推理过程,只是省略了大前提,而这个大前提恰恰就是基础知识.如果平时只注重“刷题”,忽略对基础知识的分析、思考,那越来越多的学生就会出现“跟着感觉走”的现象.

3.2 勿以经验为主而忽略对教学资源的再研究发现

经常会有人说经验主义教条主义害死人,但不可否认,一旦我们有了一定的经验,就会不知不觉地从经验出发.为了不陷于此,只是提醒自己,那是远远不够的.我们只有不断地梳理更新自己的理念,才不会被经验束缚.哪怕是旧资料只要不断地尝试从新的角度探讨研究,也会有不同的发现.只要追求,总会有收获.

3.3 勿以本为本而忽略教材资源的开发、重组和取舍

比如“推理与证明”这一章,笔者是用下面这道题,开始本章的旅程的.

问题已知数列{an}中,a1=0,an+1=an+(2n-1),求{an}的通项公式.

多数学生基本和当初刚学数列时一样不会用叠加法求解,而是用归纳推理.原来用这个方法的时候是因为无可奈何,但现在学生会高兴的发现这个方法也是很重要的一种数学思想方法,并且一直到本章结束学生才能彻底地解决这个问题,不仅达到一线贯穿始终的目的,同时还掌握了归纳猜想证明的数学思想方法.再例如,进行“直接证明和间接证明”的教学时,在了解熟悉各类方法之后,先不要急于进行书后练习.此时可以把书上的一道例题搬出来,要求学生用三种方法去证明.

题目若a,b,m∈(0,+∞),b＜a,求证:.

证明完成的过程,学生既有“形”的认识,又有“实”的比较,就不会只是感觉和模仿了.

数学学习与研究中,因为学生的学习习惯或教师的教学方式,有很多学生学习研究会“跟着感觉走”,而“推理与证明”这一章节为教师和学生提供了一个转变认识、更正习惯的好平台.正确地引导、研究,让学生逐渐养成言之有理、论证有据的习惯,才能真正有助于发展学生的数学思维能力,形成理性思维和科学精神.

[1]江苏省考试院.2015年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)说明(M),南京：江苏凤凰教育出版社,2014

[2]普通高中课程标准实验教科书选修2-2数学(M),江苏教育出版社,2006.

[3]普通高中课程标准实验教科书选修2-2教学参考数学(M),江苏教育出版社,2006.