形似而神更似—再读2016高考新课标I卷理科数学第21题有感

广州大学附属中学(510050) 韩智明

形似而神更似—再读2016高考新课标I卷理科数学第21题有感

广州大学附属中学(510050) 韩智明

备受社会广泛关注的2016高考已经过去一段时间,然而高考背后的影响深远,特别是首次加入全国新课标的部分省份的师生们,原先对首次使用全国卷的神秘感和紧张感随着高考的结束也终于释怀,而当神秘的新课标试卷面纱揭开以后,面对理科数学试卷,结果一片哗然.回顾过去当然是更好地展望未来,更好地为新一届高三数学备考复习起到一定的导向作用.笔者在感慨试卷整体难度的同时,不得不对制卷专家老师们的独具匠心感到钦佩,试题在能力中体现选拔功能,在实际应用中彰显灵活性.笔者对理科数学压轴第21题作了认真解读,此题虽一改以往第(I)问送分给考生发“福利”的局面,但仔细分析在第(I)问就是加强了数学中的分类讨论思想的考查,虽然在某一类讨论中不能轻易得出使函数取值为正的零点,但作为压轴题得到八层分也是必须的,而在第(II)问中,从设问结构来看,就显得简单易懂,有一种似曾相识的感觉,究其本质其实就是平时经常训练的函数极值点偏移问题,此题如此解读真可谓“形似而神更似”了.

题目(2016年高考新课标I卷理科数学第21题)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.(I)求a的取值范围;(II)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明：x1+x2＜2.

解析第(I)问略;下面先给出第2问的两种解法：

解法1由(I)的结论可知：不妨设x1＜x2,由(I)知x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),2-x2∈(-∞,1),f(x)在(-∞,1)上单调递减,所以x1+x2＜2,等价于f(x1)＞f(2-x2),即f(2-x2)＜0.由于f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2,而f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0,所以

设g(x)=-xe2-x-(x-2)ex,则

所以当x＞ 1时,g′(x)＜0,而g(1)=0,故当x＞1时, g(x)＜0.从而g(x2)=f(2-x2)＜0,故x1+x2＜2.

解法2由已知得：f(x1)=f(x2)=0,不难发现x1/=1, x2/=1,故可整理得：

由g(x1)=g(x2)可知x1、x2不可能在g(x)的同一个单调区间上,不妨设x1＜x2,则必有x1＜1＜x2令m=1-x1＞0,则有

g[1+(1-x1)]＞g[1-(1-x1)]⇐⇒ g(2-x1)＞g(x1)=g(x2)而2-x1＞1,x2＞1,g(x)在(1,+∞)上单调递增,因此：g(2-x1)＞g(x2)⇐⇒ 2-x1＞x2,整理得：x1+x2＜2.

点评以上两种解法通过构造一元的差函数,然后求导消参,从极值点的角度分析入手,由于极值点左右“增减速度”的不同,使函数图像失去了对称性,出现了极值点的左右偏移.

函数极值点偏移的释义：若函数f(x)在x=x0时取得极值,则称x0为函数f(x)的极值点.我们熟悉的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a/=0)的极值点为.作直线y=h与函数y=f(x)交于A(x1,h),B(x2,h)两点,则称AB的中点为.对于二次函数,极值点为,此时认为极值点居中,没有偏离中点.然而很多极值函数,由于极值点左右的“增减速度”不同,函数图像不具有对称性,常常有极值点的情况,出现了极值点左右偏移.

在历年高考或高三备考模拟考试中,以此为背景的极值点偏移问题屡屡出现.由于x0、x1或x2往往不易求解,x0与的大小不便直接比较,试题难度较大,常常处在试卷的压轴题位置,其地位显得十分重要.

下面选取在以往高考或在高三备考中出现的有关函数极值点偏移问题的试题,通过剖析和挖掘,分析其问题解决的思想和本质,我们就不难发现2016年高考新课标I卷理科数学第21题的用心良苦了.

例1 (2016年湖北省七校2月联考试题)已知函数.

(I)记F(x)=f(x)-g(x),证明F(x)在区间(1,2)内有且仅有唯一实根;

(II)记 F(x)在 (1,2)内的实根为 x0,m(x) = min{f(x),g(x)},若m(x)=n(n∈R)在(1,+∞)有两不等实根x1,x2(x1＜x2),判断x1+x2与2x0的大小,并给出对应的证明.

解析(1)略.

(II)当0＜x≤1时,f(x)=xlnx≤0,而g(x)=＞0,故此时有f(x)＜g(x),由(1)知,

当x＞1时,F′(x)＞0,且存在x0∈(1,2)使得F(x0)= f(x0)-g(x0)=0,故1＜x＜x0时,f(x)＜g(x);当x＞x0时,f(x)＞g(x).因而

显然当1＜x＜x0时,m(x)=xlnx,m′(x)=1+lnx＞0,因而m(x)递增;当x＞ x0时,m(x)=,m′(x)=,因而m(x)递减;m(x)=n在(1,+∞)有两不等实根x1,x2,则x1∈(1,x0),x2∈ (1,+∞),显然当x2→+∞时,x1+x2＞2x0,

下面用分析法给出证明.要证：x1+x2＞x0,即证x2＞ 2x0-x1＞ x0,而m(x)在(x0,+∞)上递减,故可证m(x2)＜m(2x0-x1),又由m(x1)=m(x2),即证m(x1)＜m(2x0-x1),即

记

其中h(x0)=0.

即h(x)单增.从而1＜x＜x0时,h(x)＜h(x0)=0,即,故x1+x2＞2x0得证.

例2 (河南2016天一大联考(五)第21题)已知函数f(x)=eaxlnx(a＞0,e是自然对数的底数.)

(I)若f(x)在定义域内单调递增,求实数a的取值范围;

解析(I)略.

点评例1第(II)问证出结果是x1+x2＞ 2x0,即要证.其中就是直线y=h(h= m(x1)=m(x2))被函数y=m(x)所截线段中点的横坐标,不等式右边的x0恰好是的极值点,因此本质上是证极值点左偏;例2第(II)问证,即要证,其中就是直线y=h(h=g(x1)=g(x2))被函数y=g(x)所截线段中点的横坐标,不等式右边的恰好是的极值点,此例本质上是证极值点右偏.

2016年高考新课标I卷理科数学第21题与以上两个例题从形式和本质上都明显符合极值点偏移问题,所以在平时训练中,只要弄清解决该问题的本质策略,我们就会发现高考试题和我们平常训练的题型不光是“形”似,有时候近乎于“神”似.

下面再看两个例题,它们与极值点偏移问题是“形”似还是“神”似呢?

例3(2014年江苏南通市二模第20题)设函数f(x)= ex-ax+a,a∈R,其图像与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且x1＜x2.

命题老师给出的参考答案：

解析： (I) 略.(II)因为两式相减得：

点评第(II)问从“形”上看,很难把它和极值点偏移问题联系起来,从答案方法来看,中间有个过渡,显得证明技巧很强,学生甚至是老师也觉得无从下手.结果要从转化为证明.思路自然一时受阻,如果结合上文的2016高考题和例1、例2的处理策略就不难发现它们虽然“形”不尽似,但“神”在本质上是相似的,只不过是试题对极值点的偏移作了一些包装.注意到不等式右边的0就是极值点lna处的导数,即f′(lna)=0,因此也就是要证明,又因为f′(x)单调递增,就可以转化为证明了,显然就是极值点右偏问题了.下面我们给出证明过程：

由F′(x)=a(ex+e-x-2)≥0,故F(x)在[0,+∞)上单调递增.当x＞0时,F(x)＞F(0)=0,即f(lna+x)＞f(lna-x).由(I)可知x1＜lna＜x2,所以x2-lna＞0,2lna-x2＜lna.因此

例4 (2016河北省衡水中学高三下学期二调第21题)设函数f(x)=x2-(a-2)x-alnx.

(I)求函数f(x)的单调区间;

(II)若函数f(x)有两个零点,求满足条件的最小正整数a的值;

(III)若方程f(x)=c(c∈R),有两个不相等的实数根x1,x2,比较与0的大小.

解析：(I)、(II)略.

试卷第 (III)问给出的解题分析：由 x1,x2是方程f(x)=c的两个不等实根,则-(a-2)x1-alnx1=c,-(a-2)x2-alnx2=c,两式相减,得

然后通过换元求导即可证明.试卷的参考答案对第(III)问给出的论证如下：

因为x1,x2是方程f(x)=c的两个不等实根,由(1)知a＞0.不妨设0＜x1＜x2,则

因为t＞0,所以g′(t)≥0.当且仅当t=1时,g′(t)=0.所以g(t)在(0,+∞)上是增函数,又g(1)=0,所以当t∈(0,1)时,g(t)＜0总成立,故题得证.

点评在高三备考复习训练中,通过消元减少变量来转化处理的解题策略应该是深入学生心中,但其中巧妙的构造技巧和繁杂的计算量确实让人叹为观止.在第(III)问中,是否还能够找到与文中本质相同的处理策略呢?其实只要仔细比较不难发现还真有“神”似的地方.

解析通过第(I)问不难得出：当a＞0时,函数f(x)有两个零点,且f(x)的最小值.

高考试题是历届高三复习备考的风向标,尽管年年迥乎异同,但其本质是灵活运用所学知识去解决数学问题,它决不是天外来客,而是蕴藏在书本中,潜伏在你平时的训练作业里,只要你细心、留意,一定会发现高考题的来龙去脉.不管是各省市自主命题考试还是参加全国新课标考试,它一定都会成为大家熟悉的“陌生人”,正如2016年新课标理科数学压轴题一样,它“形”似,更是“神”似!

[1]邢友宝.极值点偏移问题的处理策略[J].中学数学教学参考, 2014(7).