夯实基础 拓展提升——《百分数解决问题》教学实践与思考

徐晓良 徐丹红

【教学内容】

人教版六年级上册第90页。

【教学过程】

一、谈话引入，直接揭题

师：今天我们一起学习用百分数解决问题，在前面的学习中你对百分数已经有了哪些了解呢？

生：我们学习了百分数的认识，百分数的含义。

生：我们还学习了百分数的计算。

师：同学们对于百分数已经掌握了很多知识。那你在生活中哪里见过百分数呢？

生：在抽奖活动中见过。

生：下载软件的时候见过。

生：食品成份中会写鸡蛋占了百分之几。

【说明：引导学生用数学的眼光去看待生活、寻找生活中的百分数能更好地理解百分数，也为后面问题的提出做了很好的铺垫。】

二、问题解决，学习假设

师：徐老师前几天看到了一则和百分数有关的小广告，今天和大家一起分享一下。

师：看了这则促销的消息，你有什么想说的吗？

XX车行活动信息

十一月信息：由于进价提高，自11月1日起，自行车价格上涨20%；

十二月信息：为了回馈消费者，自12月1日起，自行车价格下降20%，恢复到10月份的价格。

生：12月1日去买比较好。

师：你是认为12月的价格比较——

生：便宜！

生：我认为他这则信息有错误。

师：那你能告诉大家哪句话出错了吗？

生：我认为不能恢复到10月份的价格，会和10月份的价格有一些变化。

师：同学们能用数学的眼光分析生活中的问题并能提出质疑，非常棒！那么最后的价格是真的恢复到了10月份的价格，还是像我们同学所说的和10月份相比会有些变化呢？如果交给你，你能解决吗？请把你的想法写下来。

【说明：教师没有直接提出问题，而是让学生自己分析发现问题，并提升学生的问题作为课堂研究的主问题，不仅能让学生带着思考解读信息，而且激发了学生提出问题、解决问题的热情。】

（学生独立完成，教师巡视）

师：谁愿意和大家交流一下你的想法？

生：假设10月份的价格是100元，那么11月份是100+20%=120（元），12月份是120-20%=96（元）。

（板书算式）

师：有没有同学对他的算式有不同意见？

生：我完全看不懂算式中的20%是谁的20%，不知道他是怎么做的。

师：你的意思是他的算式中没有表示出是谁的20%，是吗？那么谁来帮助他把算式补充一下？

生 ：100 ×（1+20% ）=120（元）。

师：现在你能看出是谁的20%了吗？

生：是10月份的20%。

师：其实这位同学用100+20%是想表示100+100×20%，而这个算式又可以表示成100×（1+20%），这样计算的结果就是哪个月的价格？

生：11月。

师：11月知道了，我又应该如何求12月呢？

生：12月价格比11月下降了11月份的20%。

生：120×（1-20%）=96（元）。

师：如果老师用下面这条线段表示10月的100元，那么11月份应该怎么表示？

生：再加上20%。

师：这个20%该怎么表示？

生：把10月平均分成10份，取其中的2份线段。

生：也可以直接平均分成5份，取其中的1份。

师：那么12月应该是在——

生：把11月平均分成5份，少了其中的1份。

师：同样是20%，在图上为什么表示不一样呢？

生：因为它们的单位“1”不同。

【说明：借助线段图，为学生提供了思考的直观工具，厘清了三者之间的关系。同时，也利用线段图的直观冲击让学生进一步理解两个20%在表示实际量上的不同及其不同的原因。】

师：单位“1”发生了变化，所以最后结果也发生了变化。那么假设100元，得到了下降的结论，如果假设的是其他的数呢？

生：还是一样的。

师：有同学假设不同的数吗？和大家来交流一下。

生：我假设的是10元，10×（1+20%）=12（元），12×（1-20%）=9.6（元）。

生：我假设的是 1，1×（1+20%）=1.2，1.2×（1-20%）=0.96。

师：为什么我们假设的数是不同的，得到的结论却都是下降呢？

生：11月份上涨的20%是以 10月份为单位“1”,而 12月份是以上涨了的11月份的价格为单位“1”，所以12月份的价格比10月份的价格要低。

生：下降的是上涨后的20%。

师：意思是说下降得要多，上涨的要少。

师：同学们刚刚是用分步计算得出结果的，有的时候综合计算会给我们一个新的观察角度。你能把上面的算式合并成综合算式吗？

学生说综合算式，教师板书如下：

100×（1+20%）×（1-20%）=96（元）

10×（1+20%）×（1-20%）=9.6（元）

1×（1+20%）×（1-20%）=0.96

师：观察这些综合算式，你又有什么新的发现？

生：都是乘（1+20%）×（1-20%）。

生：不管假设多少，12月和10月的价格关系不变，都是求单位“1”的百分之几是多少。

师：在这里是求单位“1”的百分之几呢？

生：是求单位“1”的96%。

师：96%是怎么来的？

生：120%×80%=96%。

100×（1+20%）×（1-20%）=96（元）

120%×80%

96%（0.96）

师：都是求单位“1”的96%是多少，那我把单位“1”假设成a可以吗？

生：可以！

师：那么就是求a的——

生：96%是多少。

师：a乘以96%，乘以一个比1小的数，结果——

生：比a小。

师：当然这里的a能不能为0啊？

生：不能。

师：结果是？

生：0.96a。

教师将线段图中的100元改成a，12月份改成0.96a。

师：而且我们从图上很明显的看到，最后结果下降了，你知道下降了百分之几吗？

生：4%。

师：这个4%就是下降的幅度。这个下降的幅度和前面假设是多少有关系吗？

生：没有！

【说明：解决问题的过程放手让学生独立完成，给不同解决问题的方法、不同假设数据的呈现提供了可能。而后又巧妙的利用综合算式，将这些不同的情况进行对比，让学生由模糊变得清晰：这类解决问题无论多么复杂最后都可以化繁为简为“求一个数的几分之几是多少。”】

三、变式练习，渗透模型

师：刚刚我们发现自行车的价格先经过了上涨，又下降，最后结果是下降了4%。如果是先下降后上涨呢？

（边说边出示折线统计图）

生：（犹豫着说）变大了。

生：可能还是下降的。

师：请你算一算是涨了还是降了，如果可以直接列综合算式就列出综合算式。

生：怎么还是下降了？

师：还是下降？谁来说说你是怎么计算的。

生：假设是 a，a×（1-20%）×（1+20%）=0.96a。

师：明明现在变成了先降后涨，怎么结果还和先涨后降是一样的呀？

生：先降的话，后面涨的就少了。

生：在下降的基础上涨。

师：刚刚在同学的回答过程中，老师感觉到你们的脑海中都有了一幅新的线段图。你们发现了什么？

（出示前后两幅线段图）

生：下降的20%还是比上涨的20%多。

师：还是因为——

生：单位“1”发生了变化。

师：下降幅度是——

生：4%。

生：我有补充，不管是先降后涨还是先涨后降，都是计算一个数的96%。

生：其实就是乘法交换律，（1-20%）和（1+20%）交换了一下而已。

师：所以表面上看，变化过程是不一样的，但变化的结果和变化的幅度是一样的。先下降20%，后上涨20%，最后是下降了。那如果还是先下降20%，后上涨30%呢？

生：肯定是涨了，涨了4元。

师：非常厉害，还能一下子知道涨了多少。算式表示出来可以吗？谁来和大家分享一下你的算式？

生：假设十月份售价100元，100×（1-20%）×（1+30%）=104元。

师：涨了多少呀？

生：4元，是100元的4%。

师：刚刚咱们下降20%，上涨20%，结论是降了；下降20%，上涨30%，是涨了。如果店家想恢复到10月份的价格，那上涨百分之多少能恢复到原价呢？

【说明：用折线统计图来展示变化的幅度是一个亮点。通过折线的变化这种形象的描述，让学生对于变化幅度有了一个直观的认识，课堂效果很不错。】

生：应该是25%。

生：肯定是在20%和30%之间。

师：你能通过计算算出来吗？试一试！

生：上涨25%，我是想0.8乘以几等于1。

师：你们听明白他的意思了吗？

生：就说假设原价是1元，下降后是0.8元，那么0.8乘以多少才能仍旧等于1。

师：也就是说单位“1”只有乘以1才能仍旧等于单位“1”，而前面是0.8，0.8乘以1.25正好等于1。

板书：

1×（1-20%）×（1+？）=1

0.8×？

1

师：看来我们的猜测还是非常准的。还有不同的想法吗？

生：下降后是80元，涨回到100元，要涨20元，20元是80元的25%。

生：（100-80）÷80=0.25=25%。

师：求100比80多了百分之几，可以从不同的角度来解答恢复到原价需要上涨百分之几。我们通过计算发现，如果上涨幅度和下降幅度是一样的话，绝对不会——

生：和原价相等。

师：下降20%，要上涨25%才能回到原价，这是为什么呢？

生：因为单位“1”不同。

师：看来在百分数解决问题中单位“1”的变化对最后的解题起着很大的作用，所以我们要找清单位“1”。

【说明：通过先涨后降和先降后涨两种情况的对比，使学生进一步熟练假设法的使用，也进一步理解了这类题型的意义。而通过“涨百分之多少能回到原价？”问题的解决则更进一步理解单位“1”对于百分数的意义。同时，也通过两者的结果相同，让学生体会到了变中有不变的思想。】