“平行四边形判定”教学中的思维活动

庄丽

教学内容蕴含的数学思维活动分析：

首先，平行四边形的判定和性质定理实际上是对平行四边形概念内涵理解的发展和深化过程中生成的，对数学概念理解的深化体现在概念内涵的丰富化和建立丰富的与之相关的概念间的联系，概念内涵表现为性质定理，性质定理的命题条件与结论的逆命题即构成了对判定定理的探寻，这种概念与定理的生成分析与组织过程广泛存在于几何学习过程中，前面内容学习获得的思维经验就成了类比联想的参照，类比是合情推理的基础之一，有助于新知的发现与学习。其次，经由类比联想发现知识发展的方向后，在发展知识的过程中，通过实验与观察，进而提出猜想，是重要的直观思维活动，而确认结论的真假则必须以严格的演绎推理为基础，这体现了数学学科的理性精神和价值取向。整个探究活动中包含的思维活动过程，即“联想发现→实验观察→归纳猜想→推理论证”的过程，大量存在于各类问题解决活动中。在学习阶段经历这样的过程，无论是从感悟数学思想的角度还是从积累思维活动经验的角度来讲，对发展学生数学核心素养都具有重要的意义。

学生思维基础和思维障碍分析：

学生在此前经历的平行线、角平分线、垂直平分线的性质与判定的学习过程中积累的数学思维活动经验是本课学习的思维基础。此外，在此前几何学习的过程中，学生对推理论证的必要性已经有一定认识，对全等三角形的判定有较为丰富的经验，也有助于在本节课的探究活动中主动开展推理论证。在论证环节，初始的基础只有定义，但学生的思维可能并不严密，会从实际成立但未经论证的某个结论出发，在结论间互相进行推理，造成循环论证，这反映出学生对公理化思想的理解不够，但这也恰恰是使学生感悟公理化思想，发展学生数学推理素养的时机。

主要教学活动设计与实施：

1.回忆旧知，提出课题

问题：我们已经学习了平行四边形的概念和性质，由平行四边的性质我们可以知道它在边、角和对角线方面具备一些特殊属性。反之，对于一个四边形，具备什么特点时，就可以判定该四边形是平行四边形呢？说明：如果学生有困难，教师可以提示学生回忆平行四边形有哪些性质，提示学生借助此前学习平行线、角平分线和垂直平分线的研究经验。

2.问题探究，获取新知

活动：教师请学生分组进行探究和猜想，学生可以利用不同长度的小纸条作为辅助学具，动手拼摆，通过观察提出猜想，将一个猜想写在一张预先准备好的长纸条上，并将本组写好的纸条贴到黑板上来。说明：教师应给予学生充分的探究时间和空间，对学生提出的猜想暂不给出正误方面的判断，鼓励学生大胆猜想。

问题1：这些猜想是如何想到的？请部分学生进行说明，并结合说明过程，对黑板上贴的纸条进行分类整理。说明：教师应帮助学生将杂乱的思维逐步梳理至有序。根据条件的内容，提出的结论大致可分为：定义、性质定理的逆命题，摘取性质定理中的部分条件进行重组构成的命题。整理过程中，将黑板上的纸条根据条件的内容进行分类，同类的排在一起，另外也可以对写有相同结论的纸条统计出现频数后，将多余的重复纸条摘去。

问题2：在黑板上的结论中，你能肯定哪些是正确的？请学生发表意见，交流证明过程或思路。说明：教师要关注学生是否会出现从新提出还未经论证的某个结论出发，在结论间进行互推的现象，必要时加以提示；如果学生形成了多种证明方法，应带领学生对不同方法进行比较和分析。

问题3：在黑板上的结论中，你能肯定哪些是错误的？请学生举出反例。说明：教师要关注学生在举反例时语言表达和图形呈现的适当使用，给学生充分的交流时间。

3.总结提升，承上启下

教师引导学生围绕以下問题进行小结：本节课我们得到了平行四边形的哪些判定方法？我们是怎样得出这些判定方法的？这样的探索过程对你有什么启发？

教师布置选做作业：本节课提出的结论中，还有一些暂时难以判断正误，请你课下继续思考，正确的给出证明，错误的举出反例；如果你是教科书的编者，由你来设计平行四边形的判定定理，你会把刚才证实的哪些真命题列入定理范围？为什么？说明：在此环节，教师应引导学生重点关注思维方法方面的收获。

（作者单位：中国人民大学附属中学）