再谈两圆公共弦所在直线方程

王海平+李大永

在圆的方程的学习中，学生曾经做过这样一道题：若圆C1：x2+y2-2x-3=0与圆 C2：x2+y2+4x+2y+3=0相交，求公共弦所在直线的方程。有学生在问题解决后提出了新的问题：“两圆不相交时，方程作差仍可得到二元一次方程，这个方程所反映的直线与已知两圆是什么关系？”

该问题的提出很自然且很有价值，一方面，脱离开几何直观意义的代数运算就变成了纯形式化的操作，往往容易忽视操作本身的意义；另一方面，在解析几何中，方程具有直观意义——曲线，当曲线关系与方程的运算关系之间建立不起联系时，学生就产生了困惑。这个困惑恰恰可以反映出解析几何的思维本质特征，同时也反映出学生在数学推理的素养上还有待提高。

教学内容蕴涵的数学思维活动分析：

解析几何的核心思想是以坐标系为基础将几何中的点和有序数对建立联系，在此基础上运用变量观点，动点生成的轨迹就和有序数对（x，y）中的两变量x，y构成的关系式——方程建立起对应关系。因此，曲线方程中的字母是变量而不是某个未知的常量。从直线、圆和圆锥曲线的学习可以发现，数与形之间的互相表达所依赖的是度量图形的基本概念——“距离”和“角”，当我们描述轨迹上点的特征或解释方程表达的轨迹时，往往需要回到这两个基本度量。

学生的思维基础和思维障碍：

疑问来自于学生关注到了一种现象：对两个圆的方程实施作差运算，实际上与两个圆有无公共点无关。当两个圆相交时，两个圆的方程作差得到了其公共弦所在直线的方程，若两圆无公共点，在代数运算上两个圆的方程仍可作差，得到的是二元一次方程，从解析几何的观点看，它表示一条直线，那么这条直线就显得很怪了？它和已知的两个圆有无关系？有何关系？学生自身无法解释这个疑惑，并不是因为缺乏相关知识，而是不会从解析几何基本概念的内蕴方法和思想去思考解决问题，学生完全没有关注到两个圆的方程可以作差的前提是什么。当实施作差运算时，其实是认定x，y是同时满足两方程的暂时未知的待定常量，否则x，y是两个方程各自的变量，因此是不同的。

基于以上的分析，本课聚焦于学生的推理素养和几何直观素养的发展，树立基于概念内涵理解进行思考的习惯。教学活动设计如下：

首先，展示学生提出的疑问及背景，其次，引导学生思考讨论下面两个问题：

问题1：提出的疑问中，提到相交两圆的公共弦所在直线方程可以通过两圆方程相减得到，这是为什么？

说明：通过回顾与分析，一是聚焦曲线与方程核心概念的本质理解，二是引导学生认识到两个圆的方程作差时，是把两个方程中的x，y看作了公共点的坐标，因此是未知的待定常量，为学生解决后续问题作好铺垫 。

问题2：提出的疑问中，两圆不相交时，方程作差仍可得到二元一次方程，这个方程所反映的直线与已知两圆是什么关系？

说明：通常情况是学生没关注此时方程作差的意义，直接研究两圆方程在形式上作差运算所得到的直线，从一般形式入手，或从具体尝试中归纳发现直线与圆心连线垂直，之后就陷入困境。教师可引导学生反思所学的知识：反思发现代数对象的几何解释依赖于图形的基本度量“距离”和“角”，获得几何解释；反思发现“曲线的几何性质与坐标系位置无关“，获得简化运算揭示几何意义的途径——使两圆心在x轴上。学生到此通常会认为问题得到完美解决了，此时教师可以引导学生思考：如何解釋两圆无公共点情况下两个方程作差的可操作性？提示学生思考两方程作差所得方程中的（x，y）实际上并不是两圆方程中的（x，y）。引起认知冲突后，引导学生思考：两方程作差运算可逆吗？两圆方程作差所得方程中的（x，y）并不是原来两个圆的方程中的（x，y），而是满足|PC1|2-r12=m，|PC2|2-r22=m的两个方程作差的结果，其中m是参数。

（作者单位：1.首都师范大学附属中学；2.北京市海淀区教师进修学校）