关于莫利秩3的无限群结构的探讨

杨年西(淮北师范大学信息学院，安徽淮北 235000)

关于莫利秩3的无限群结构的探讨

杨年西
(淮北师范大学信息学院，安徽淮北 235000)

为了研究莫利秩3的连通群的结构，将其分成两类，分别是好群和坏群。本文在已知有限莫利秩的无限群具有降链条件下，利用降链条件，证明了坏群G是莫利秩3的连通群且Z(G)=1，则∀x≠1，x∈G，CG(x)是连通的莫利秩1的群。∀x,y≠1,x,y∈G，群CG(x)和群CG(y)在群G中相互共轭或相等。

可解群；有限莫利秩群；连通群；无限群

莫利秩是1965年由莫利(Morley)定义的，此后，数学家Gregory Cherlin和Boris Zil’ber研究有限莫利秩的代数结构并提出无限单群代数猜想(Cherlin-Zil’ber猜想)，是指有限莫利秩的无限单群是在代数闭域上的线性代数群[1-2]；有限莫利秩的群的研究思想和方法部分来源于有限群，因为无限阶的元素往往是丰富的，通常不能通过元素阶无限来分析群的结构；Cherlin把莫利秩3的连通群分成两类，分别是好群和坏群，把莫利秩3的连通群含有确定的莫利秩2的群称为好群，否则称为坏群；Cherlin给出一个猜想，即莫利秩3的连通群的坏群是不存在的.本文探讨莫利秩3的连通群的坏群性质和结构.

1 预备知识

有限莫利秩的群G是指TH(G)是ω-稳定的RM(G)<ω(TH(G)表示群G所确定完全的理论，RM(G)表示群G的莫利秩)；有限莫利秩的无限子群具有降链条件，也就是说，没有无限确定子群满足降链G>G1>G2>…[1].类似地，代数几何中的代数群，连通部分(用G0表示)是指群G中最小确定有限指数的子群[1]；莫利给出几个事实，指出有限莫利秩的无限群有无限确定交换子群[1-2]；有限莫利秩的无限群RM(G)=1，则群G0是无限交换群；Nesin A证明了有限莫利秩的连通的可解导群是连通的幂零群[3].本文中，C(X)表示群G的中心化子，RM(X)表示集合X的莫利秩.本文采用的符号和术语都是标准的，主要参见文献[1-2].

定义1[2]一个不可解的连通的有限莫利秩群G，如果群G的连通的真子群都是幂零的，则称群G是一个坏群.

引理1[4]如果群G是连通有限莫利秩的无限幂零群，那么Z(G)是无限的.

引理2 一个有限莫利秩的群G，如果B⊂G，B是交换群，Z(G)为G中心，则B·Z(G)是交换群.

证明 设∀x,y∈B·Z(G)，不妨设x=a·b，a,c∈B，b,d∈Z(G)，x·y=ab·cd=a·c·d·b=c·a·d·b=cd·ab=y·x，且xy∈B·Z(G)，根据群的定义，B·Z(G)是交换群.

引理3[5]假设无限群G是莫利秩2的连通群，则群G是可解的.

引理4 设N◁G，N和G/N均可解，则G可解.

证明 已知G/N可解，依据文献[6]的定理4.12，存在一个整数n，(G/N)(n)=1=G(n)N/N，推出G(n)⊂N，由于N可解，存在整数m，(N)(m)=1=G(n+m)=1，即G可解.

2 主要结论

定理1 假设非可解群G是连通的莫利秩3的群，如果群G存在确定莫利秩2子群T，则子群T一定是非幂零子群.

证明 假设群T是幂零群，则群T的子群也是幂零的，设A=T0，群A是确定的连通的莫利秩2的幂零群.存在群A的正规化子N=N(A)，因为前提条件非可解群G是连通的莫利秩3的群，而子群N≠G，所以子群N是莫利秩2的群.

设x∈G-N，那么A∩AX≠A，分两种情况讨论：(1)假设A∩AX为有限群，则MR(A∩AX)=0，结果MR(AAX)=4；而AAX⊂G，则MR(AAX)≤MR(G)=3，产生矛盾.(2)假设A∩AX为无限群，且A∩AX≠A，可得MR(A∩AX)=1.计算AAX的莫利秩，MR(AAX)=3.设B=(A∩AX)0，群B是连通的莫利秩1的群，则群B是交换群.因为群A是确定连通的莫利秩2幂零群，根据引理1，中心Z(A)是无限群.

下面证明群B⊂Z(A)，假设A=Z(A)，则B⊆Z(A).假设A≠Z(A)，因群A是确定的连通的莫利秩2的幂零群，推导出RM(Z(A))=1.对B∩Z(A)的莫利秩再分两种情况讨论：(1)假设RM(B∩Z(A))=1，因B是连通的莫利秩1的群，则B⊆Z(A)；(2)假设RM(B∩Z(A))=0，推导出RM(B·Z(A))=2，因为群A是确定连通的莫利秩2幂零群，即B·Z(A)=A，根据引理2，则有B·Z(A)是交换群，即A=Z(A)，则B⊆Z(A).

因为子群AX也是确定连通的莫利秩2幂零群零群，同理也可以证明群B⊂Z(AX).因为A⊂C(B),Ax⊂C(B)，则AAX⊂C(B).而MR(AAX)=3，因为群G是连通的莫利秩3的群，则C(B)=G，推导出群B是非可解群G的正规子群.因群B是交换群，则群B是可解群，计算莫利秩得MR(G/B)=2，根据引理3，商群G/B是可解的，再由引理4可知，群G是可解的.则得出群G与前提条件不可解的矛盾.即假设群T是幂零群不成立，则子群T一定是非幂零子群.

根据定理1的证明可知，一个莫利秩3的不可解群G，如果有确定的莫利秩2的真子群，莫利秩2的真子群一定是非幂零的，可以推导出莫利秩3的坏群G一定没有确定的莫利秩2的真子群.

定理2 连通的莫利秩3的群G是坏群，且Z(G)=1，则∀x∈G，x≠1，RM(C(x))=1.

证明 连通的莫利秩3的群G是坏群，那么群G没有确定莫利秩2的子群.已知C(X)是确定子群，所以RM(C(x))≠2.如果RM(C(x))=3，则C(x)=G，推导出∀x∈Z(G)，x≠1，与前提条件Z(G)=1矛盾，即RM(C(x))≠3.如果RM(C(x))=0，那么C(x)是有限的，{xG}是确定的子集，且RM({xG})=3.计算连通的莫利秩3的群G的莫利度等于C(X)群的阶，|C(X)|≥2，与连通的莫利秩3的群G的莫利度是1矛盾，由上面的讨论可知，RM(C(x))=1.

引理5 假设连通的莫利秩3的群G是坏群，且Z(G)=1，如果∀x∈G，x≠1，∀x,y∈G，x,y≠1，C0(x)∩C0(y)≠1，则C0(x)=C0(y).

证明 设a∈C0(x)∩C0(y)，a≠1，根据定理2，可以推导出C0(x)和C0(y)都是莫利秩1的交换群，C0(x)，C0(y)⊂C0(a).假设C0(x)∩C0(y)是有限的，那么RM(C0(a))≥2.现在分析C0(a)的莫利秩，连通的莫利秩3的群G是坏群，根据定理1，不存在确定莫利秩2的群，那么RM(C0(a))≠2.如果RM(C0(a))=3，因为群G是莫利秩3的连通群，则C0(a)=G，可以推导出a∈Z(G)，a≠1,与前提条件矛盾，可知C0(x)∩C0(y)是有限的这一结论不成立，由此得到C0(x)∩C0(y)是无限的，所以C0(x)∩C0(y)为莫利秩1的交换群，其连通分支具有唯一性，则C0(x)∩C0(y)=C0(y)=C0(x).

定理3 假设连通的莫利秩3的群G是坏群，且Z(G)=1，那么∀x∈G，x≠1，C(x)是连通的.

证明 设∀a∈G，x≠1，记T=C(a)，A=C0(a)，设b∈A∩Ag且b≠1，A和Ag都是连通的莫利秩1的群，可得A⊂C(b)，Ag⊂C(b).因为莫利秩3的单群G是坏群，可以推导出只有RM(C(b))=1；A和Ag都是连通的莫利秩1的群.由RM(C(b))=1，C(b)的莫利秩1的连通群具有唯一性，即可得A=Ag.

记D=∪{Ag,g∈G}，下面证明D=G.首先假设D≠G，因为RM(N(A))=1，[N(A)∶A]是有限的，通过计算，RM(D)=3，且D是正规子集.不妨假设存在y∈(G-D)且y≠1.由定理1，得到RM(C(y))=1.设B=C0(y)，D1=∪{Bg,g∈G}，显然D1也是一个莫利秩3的正规子集，群G是莫利秩3的连通的群，那么必然存在s∈D∩D1，s≠1，即s∈Ag，s∈Bh，由于Ag和Bh是莫利秩1的连通群，得到Ag=Bh.推导出A和B是共轭的，即得到D=D1.如果T≠A，RM(A)=1，由A是T的正规子群，则RM(T-A)=1.又记集合D2=∪{(T-A)g,g∈G}，假设(T-A)k∩(T-A)是无限的，显然Tk∩T是无限群，因T连通分支是唯一的，得到A∈Tk∩T，推导出Ak=A，可知(T-A)k∩(T-A)是有限的，计算出D2莫利秩和D的莫利秩相等，得到RM(D2)=3.

由RM(D)=3和RM(D2)=3，得到群G是莫利秩3的连通的群，D2∩D必然有无限多个元素，那么存在y∈(T-A)满足yh∈D2∩D.设yh∈Ak，记d=kh-1，经过转化和替换，得到y∈Ad，Ad是连通的莫利秩1的交换群，记g=d-1，经过转化和替换，则yg∈A.商群|T/A|的阶是有限的，所以存在正整数n，假设yn∈A，yn≠1，有y∈Ad，显然yn∈Ad，推导出yn∈A∩Ad.由引理5，得到y∈A=Ad，与y∈(T-A)产生矛盾.假设yn=1，因为y∈NG(A)，A是交换群，由文献[2]13页11题的结论可知，CA(y)是无限的，因为A是连通的莫利秩1的群，则A=CA(y)⊂CG(y)，可以推导出y∈A=Ad与y∈(T-A)矛盾.因此D≠G假设不成立，得到D=G相等，即C(x)是连通的.

推论1 坏群G是莫利秩3的连通群，且Z(G)=1，则∀x,y∈G，x,y≠1，群CG(x)和群CG(y)在群G中相互共轭或相等，而且G=∪{(CG(x))g,g∈G}.

证明 根据定理3，∀x,y∈G，x,y≠1，群CG(x)和群CG(y)在群G中是莫利秩1的连通群，由于G=∪{(CG(x))g,g∈G}，由引理5可知，群CG(x)和群CG(y)在群中相互共轭或相等.

[1]Marker D.模型论引论[M].北京:科学出版社,2007.

[2]Borovik A,Nesin A.Groups of Finite Morley Rank[M].New York:The Clarendon Press Oxford University Press,1994.

[3]Burdges J.Simple Groups of Finite Morley Rank of Odd and Degenerate Type[D].New Jersey New Brunswick:Rutgers University,2004.

[4]杨年西.关于有限莫利秩的无限幂零群的性质探讨[J].佳木斯大学学报,2016(6):987-988.

[5]杨年西.关于莫利秩2的连通群的性质探讨[J].淮北师范大学学报,2016(4):12-14.

[6]徐明曜.有限群论(上)[M].北京:科学出版社,2001.

Study on the Structures of the Connected Groups of Morley Rank 3

YANG Nian-xi

(Information College, Huaibei Normal University, Huaibei Anhui 235000,China)

We considered two classes of connected groups of Morley rank 3 is conducive to the study of its structure，respectively they are a good group or bad group. We know that any infinite group of finite Morley rank satisfies the descending chain condition, according to the descending chain condition,we show thatGbe a centerless, bad group of connected groups of Morley rank 3, Then ∀x≠1，x∈G，CG(x) be a connected groups of Morley rank 1,and ∀x,y≠1,x,y∈G,CG(x)andCG(y) are conjugate to each other or equal.

solvable group; group of finite Morley rank; connected group; infinite group

2017-03-22

安徽高校自然科学研究重点资助项目“模型论在群论中的应用研究”(KJ2016A646)。

杨年西(1972- )，男，讲师，硕士，从事模型论研究。

O142

A

2095-7602(2017)06-0012-03