有关莫利秩3的坏群的猜想探讨

梁娟英，杨年西

(淮北师范大学 信息学院，安徽 淮北 235000)

0 引言

数学家Gregory Cherlin 和Boris Zil’ber提出无限单群代数猜想(或Cherlin-Zil’ber 猜想),指有限莫利秩的无限单群是在代数闭域上的线性代数群[1]；近些年很多学者为论证这个猜想，依据西洛2-子群的性质，把有限莫利秩群分成四种类型，分别为衰退型、奇型、偶型、混合型.Cherlin对莫利秩3的连通群进行深入研究，莫利秩3的连通群假设含有确定的莫利秩2的子群，Cherlin称它为好群，否则称为坏群[2]；Cherlin提出一个很著名的猜想，猜想莫利秩3的连通群的坏群是不存在的，很多学者对这个猜想进行了探讨，并发表很多相关的论文，至今这个猜想还是没有被证明.本文在这些研究成果的基础上，进一步探讨这个猜想与群论中的Bunside问题是否存在关联[3]，也就是二元生成的p群什么条件下是有限群.本文在研究莫利秩3的连通群的坏群性质和结构上取得了一些进展，证明了无中心的莫利秩3的坏群是二元生成的群或者是可除群.

1 预备知识

本文采用的术语和符号都是标准的，主要参见文献[1,2]；有限莫利秩的群G的TH(G)是指群G所确定的完全理论；有限莫利秩的真子群具有降链条件[1]，就是指不存在无限个确定的真子群Gn，且满足降链G1>G2>G3…；用G0表示连通部分，类似代数群，连通部分是指群G中最小确定的有限指数的子群； Cherlin的相关论文已给出很多的结论，如有限莫利秩的无限群有确定的无限交换子群[2]；有限莫利秩的无限群且RM(G)=1,则群G0是无限交换群； Nesin A证明了有限莫利秩的连通群的导群是连通的幂零群[4].本文符号说明C(x)表示群G的中心化子，RM(X)表示集合X的莫利秩的数量.

1)RMM(φ)≥0当且仅当φ(M)不是空集；

2) 假设α是极限序数，RMM(φ)≥α当且仅当对任意序数β<α，满足RMM(φ)≥β；

假如φ(M)是空集，规定RMM(φ)=-1；假如RMM(φ)≥α但RMM(φ)<α+1，规定RMM(φ)=α；对任意序数α都有RMM(φ)≥α，规定RMM(φ)=∞.

定义2[2]一个不可解的连通的有限莫利秩群G，如果群G的连通的真子群都是幂零的，则称群G是一个坏群.

引理1[1]假设连通群G是莫利秩1的群；则群G是无限交换群初等p群或是交换可除群.

证明 因为莫利秩1的连通群G是交换群，对任意素数p,Gp={gp:g∈G}是确定的群，因为群G是莫利秩1的连通群，那么Gp群是有限群或者群G=Gp；①对任意素数p，假设群G=Gp，则群G是交换可除群；②存在素数p，假设Gp群是有限群，那么Gp={g∈G:gp=1}是无限的，则群G=Gp，即群G是无限交换初等p群.

引理2[5]有限生成的可解扭群是有限的.

引理3[6]假设无限群G是莫利秩2的连通群，则群G是可解的.

引理4[3]有限p群是幂零群.

引理5[7]设N◁G,N和G/N均可解，则群G可解.

引理6[8]莫利秩3的连通群G是坏群且Z(G)=1，则∀x≠1∈G，RM(C(x))=1且C(x)是连通的.

引理7[8]群G是莫利秩3的连通群且Z(G)=1，则∀x,y≠1∈G，群CG(x)和群CG(y)在群G中相互共轭或相等，而且G=∪{(CG(x))g,g∈G} .

定义3[2]假设对任意一个元素a∈G，存在一个元素b∈G，满足bn=a，那么就称G群是n-可除群；如果任意正整数n,G群都是n-可除群，那么就称G群是可除群.

2 主要结论

定理1莫利秩3的连通群G是坏群且Z(G)=1，则群G是二元生成群或是可除群.

证明 假设莫利秩3的连通群是坏群G且Z(G)=1，不妨设a,b两元素属于坏群G且CG(a)≠CG(b)≠G，两元素生成的群M即M=，根据引理[6]，那么CG(a)和CG(b)都是莫利秩1的连通群；由引理[1]，那么CG(a)≠G是初等p群或是可除群.下面分两种情况来讨论：

1)假设CG(a)≠G是初等p群，由引理[7]CG(b)也是初等p群，现在根据群M的莫利秩的数量来讨论群M的性质，①假设群M是莫利秩2的群，群M0是群M的连通的部分，则群M0是群M的莫利秩2的正规子群，由引理[3]可知群M0是可解群；由群M0是群M的连通的部分，则M/M0是有限p群，由引理[4]可知M/M0是可解的，再由引理[5]可知群M是可解的；②假设群M是莫利秩1的群，群M0是群M的莫利秩1的正规子群，则群M0是可解群；由群M0是群M的连通的部分，则M/M0是有限p群，由引理[4]可知M/M0是可解的，再由引理[5]可知群M是可解的.根据引理[6]，群M的非单位元的元素的阶都是p阶，则莫利秩1或莫利秩2的群M都是有限生成的可解扭群，再依据引理[2]有限生成的可解扭群是有限的.即群M是有限p群，那么群M是幂零群，而幂零群的中心存在非单位元的元素c≠1∈Z(M)，因a,b两元素属于群M，而元素c是群M的中心，那么a,b∈CG(c)，可得a,b两元素可交换，即CG(a)=CG(b)，与假设前提条件CG(a)≠CG(b)≠G是矛盾.所以群M是莫利秩3的群；由于群G是莫利秩3的连通群和M⊂G,所以M=G.

2)假设CG(a)≠G是可除群，那么有∀g≠1∈G，一定g∈CG(g)，根据引理[6]，那么CG(a)和CG(g)≠G都是可除群； 因为CG(g)≠G是可除群，可知任意给定正整数存在一个元素d∈CG(g)⊂G，满足dn=g，由可除群的定义，可知G群是可除群.