有限莫利秩4的单坏群的性质

梁娟英，杨年西

（淮北师范大学 信息学院，安徽 淮北 235000）

0 引言

数学家Cherlin和Zilber在研究有限莫利秩的群的代数性质时，提出无限单群代数猜想（或称Cherlin-Zilber猜想）［1-2］：有限莫利秩的无限单群是在代数闭域上的线性代数群. 通常把有限莫利秩群分成2类：好群和坏群. 坏群是指一个不可解的连通的有限莫利秩群G且任何连通的确定的真子群都是幂零的［3］.Borovik等人对有限莫利秩的群的西洛2-子群做很多研究［2，4-5］，重要成果有西洛2-子群在有限莫利秩的群中是共轭的［4］，有限莫利秩的群任何一个对合的中心化子含有无限元素的西洛2-子群［5］等. 依据西洛2-子群的性质，把有限莫利秩群分成4种类型：衰退型、偶型、奇型、混合型［5］，文献［6-7］对有限莫利秩群的奇型、偶型类型的结构深入分析，来证明无限单群代数猜想. 凯莱定理［5］通过把任何群（包括无限群）都当作某个底层集合的置换群，把所有群都放在同一个根基上，因此，对置换群成立的定理对于一般群也成立. 文献［8-9］对群G作用在确定的真子群的左陪集上的2-传递和3-传递置换群的研究和对群含有对合是否有正规的交换子群进行深入的探讨，显然2-传递置换群必然含有对合. 因此文献［10］对含有对合的传递置换群是否可裂进行探讨. 近年来用置换群的理论研究有限莫利秩的群是活跃的课题. 本文主要通过研究有限莫利秩4的坏单群G作用在确定的子群左陪集上的传递性研究，分析有限莫利秩4的单坏群的结构.

1 预备知识

本文采用的符号和术语都是标准的. 有限莫利秩的群G是指TH(G)是ω-稳定的且RM(G)<ω（注：TH(G)表示群G所确定的完全理论，RM(G)表示群G的莫利秩）［1］；有限莫利秩的无限子群具有降链条件，也就是指没有无限确定子群Gn满足降链G>G1>G2…［2］；类似代数群，群G连通部分（用G0表示）是指群G中最小确定有限指数的子群［1］. 有关有限莫利秩的群几个事实：有限莫利秩的无限群有无限确定的交换子群［1-2］；有限莫利秩的无限群且 RM(G)=1，则群G0是无限交换群［11］；有限莫利秩2的群是可解群［12］；Nesin证明有限莫利秩的连通的可解群的导群是连通的群［13］. 本文符号说明：C(X)表示群G的中心化子，RM(X)表示集合X的莫利秩的数量；N(A)表示群G子群A的正规化子.

定义1［2］博雷尔子群是指在有限莫利秩的群G中确定的极大的连通可解子群.

定义2［1］群G含有一个2阶元素通常称它为群G的一个对合.

引理1［11］假设有限莫利秩的单群G是坏群，那么任何博雷尔子群B满足N(B)=B和群G不含有对合.

引理2［14］假设群G作用在确定集合X上传递置换群，如果群G作用在确定集合X上是本原置换群且仅当对固定x∈X，元素x的稳定子群Gx都是极大的确定子群.

引理3［15］假设有限莫利秩群G忠实地作用在确定的强极小集X上且传递置换，那么有限莫利秩群G的莫利秩不超过3.

引理4［2］假设有限莫利秩的群G作用在集合X上是2-传递置换群，如果B=Gx，则 ∀g∈G,g∉B满足G=B⋃BgB且B是极大子群；相反如果群G有个极大的真子群B，∀g∈G,g∉B,满足G=B⋃BgB，则有限莫利秩的群G作用B的左陪集X上是2-传递置换群.

证明因为群G作用集合X上是2-传递置换群，∀h∈G,h∉B，x∈X，(x,gx)与(x,hx)是2个不同的一对，根据2-传递置换群的性质，知 ∃b∈G满足bx=x且bgx=hx. 又因为bx=x，则b∈B，又bgx=hx，那么h-1bg∈B，h∈BgB. 由引理2知,B是极大子群.

相反，如果群G有个极大的真子群B，∀g∈G,g∉B满足G=B⋃BgB，不妨选择 (h1B,h2B) 与(g1B,g2B)是任意2个不同的一对，因为B是极大子群，显然有限莫利秩的群G作用B的左陪集X上是传递置换群. 下面证明2-传递置换(h1B,h2B)→(g1B,g2B). 因为所以满足那么是作用在上的一对置换，h2b1h2-1是作用(h1B,h2B)→(g1B,g2B)上的一对置换. 同理∃b2∈B，g1b2g1-1是作用(g1B,h2B)→(g1B,g2B)上的一对置换. 从而群G作用B的左陪集X上是2-传递置换群.

2 主要结论及证明

定理1莫利秩4的单坏群G不含有确定的莫利秩3的子群.

证明假设莫利秩4的单坏群G有确定的莫利秩3的子群M，根据坏群的定义，子群M是幂零群，又因为确定莫利秩3的连通子群M0是可解子群，由定义1知子群M0是博雷尔子群. 再由引理1知，莫利秩4的单坏群G满足N(M0)=M0=M. 设子群M的左陪集X，因为RM(X)=RM(G)-RM(M)=1，单群G和子群M都是连通的，所以左陪集X也是连通的，莫利秩1的连通集X是强极小集，又因为群G是单群，从而群G忠实地作用在集合X上且传递置换. 依据引理3，那么RM(G)≤3，与前提条件RM(G)=4 矛盾，假设不成立，即证莫利秩4的单坏群G不含有确定的莫利秩3的子群.

定理2莫利秩4的单坏群G，任意确定的真子群的莫利秩数量不超过1.

证明由定理1可知，莫利秩4的单坏群不含有确定的莫利秩3的子群，假设莫利秩有确定莫利秩2的子群M，根据坏群的定义知，子群M是幂零群，那么确定莫利秩2 的连通子群M0是可解子群. 由定义1可知，子群M0是博雷尔子群，依据引理有莫利秩4的单坏群G满足N(M0)=M0=M，对子群M的左陪集X，有RM(X)=RM(G)-RM(M)=2. 由于单群G和子群M都是连通的，故左陪集X也是连通的.

以下证明关系G=M⋃MbM. 设集合X是子群M的左陪集，X={aM,a∈G} ，∀b∈G,b∉M，∀m1∈M,∀m2∈M且m1≠m2，假设m1bM=m2bM，那么则bMb-1=M,b∈N(M).与前提条件 ∀b∈G,b∉M矛盾，所以m1bM≠m2bM. 设集合Xˉ={mbM,m∈M}，因为有限莫利秩2的连通的极大确定的子群M，所以集合也是有限莫利2的连通的集合. 对∀c∈G,c∉M，设集合={mcM,m∈M}，同理集合也是有限莫利秩2 的连通的集合. 显然集合与集合交集也是有限莫利2 的连通的集合，则∃m∈M,满足cM=m3bM，那么c∈MbM. 这就证明G=M⋃MbM. 再由引理4可知，群G作用在集合X上是2-传递置换群. 因为2-传递置换群G含有对合，依据引理1，单坏群不含有对合，得到矛盾，假设不成立. 所以莫利秩4的单坏群G也不含有确定的莫利秩2的群，即单坏群G任意确定的真子群的莫利秩数量不超过1.