浅谈抽象函数的解题方法

王秋凤

【摘要】函数是高中数学的重要内容，抽象函数是相对于具体的函数而言，指没有给出函数解析式或对应法则，只是给出函数所满足的一些性质，抽象函数一般是指满足这些性质的一类函数.求解抽象函数问题，要有扎实的知识基础和较强的抽象思维和逻辑推理能力.随着对数学考题的要求更多变，抽象函数问题在高考命题中呈现逐渐加强的趋势.

【关键词】高中数学；抽象函数；解题技巧

一、赋值法

赋值法是把已知函数所满足的所有性质，即一般性条件，赋予特殊的值，推出函数所必须满足的其他性质.

例1已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（3）=0，对任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（6）成立，则f（2007）=（）.

A.2006

B.2007

C.2008D.0

解析f（-3）=0，取x=-3代入f（x+6）=f（x）+f（6），

得f（6）=0，f（x+6）=f（x），周期为6，选D.

例2（2005年重庆高考）已知定义域为R的函数f（x）满足f（f（x）-x2+x）=f（x）-x2+x.

（Ⅰ）若f（2）=3，求f（1）；又若f（0）=a，求f（a）；

（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0，使得f（x0）=x0，求函数f（x）的解析表达式.

解（Ⅰ）取x=2，又f（2）=3，得

f（f（2）-22+2）=f（2）-22+2，即f（1）=1.

又f（0）=a，故f（f（0）-02+0）=a-02+0，

即f（a）=a.

（Ⅱ）又满足f（x0）=x0的实数x0唯一.

由f（f（x）-x2+x）=f（x）-x2+x可知

对任意x∈R有f（x）-x2+x=x0.

在上式中令x=x0有f（x0）-x02+x0=x0.

又f（x0）=x0得x0-x02=0.

故x0=0或x0=1.

若x0=0，方程f（x）=x有两个根，故x0≠0.

若x0=1，则有f（x）=x2-x+1.

易验证该函数满足题设.

“赋值法”是解抽象函数问题最常用的方法，解题的关键是灵活运用题设条件合理赋值，赋值要有明确的目标、依据和灵活的策略.

二、变换法

利用已知函数所满足的一般性的关系式，通过变量代换，推出所要求的关系式.

例3下列命题正确的序号是.

① 若f（x）满足f（a+x）=f（b-x），则y=f（x）的图像关于直线对称；

② 若f（a+x）+f（a-x）=2c，则y=f（x）的图像关于点（a，c）中心对称；

③ 函数y=f（a+x）与y=f（b-x）的图像关于直线对称；

④ 函数y=f（a+x）与y=-f（b-x）的图像关于点中心对称.

解析①②③④都正确.

证明①②③证明略.

④ 设函数y=f（a+x）图像上任意一點M（m，n），关于点Ab-a2，0对称的点为N（b-a-m，-n），则

n=f（a+m），-f（b-（b-a-m））=-f（a+m）=-n，

所以y=f（a+x）图像上任意一点关于点A对称的点都在y=-f（b-x）的图像上.

同理，y=-f（b-x）图像上任意一点关于点A对称的点都在y=f（a+x）的图像上.命题正确.

三、抽象函数的解析式问题

例4已知函数f（x）对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0，求f（x）解析式.

分析抽象函数的解析式问题一般用赋值法求解.

解∵函数f（x）对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0，令x=1，y=0，

得f（1）-f（0）=2，∴f（0）=f（1）-2=-2.

在f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）中再令y=0得

f（x）-f（0）=x（x+1）.

∴f（x）=f（0）+x（x+1）=x2+x-2.

∴f（x）=x2+x-2.

可以看出对不同类型的抽象函数问题，可以用不同的求解策略，有时根据所给条件，可利用具体函数模型来寻求解题思路，或检验解答是否正确，从而化抽象为具体，有利于问题的解决.

【参考文献】

[1]张卫东.对抽象函数周期性的探究[J].中学数学研究，2012（15）.

[2]杨其武.函数三性的关系及简单应用[J].中学数学研究，2012（10）.

[3]张真平.抽象函数定义域的形象化求法[J].教育教学论坛，2011（13）.