正交变换的性质及其应用

☉河北省衡水一中 庄钊栋 陈铁乱

正交变换的性质及其应用

☉河北省衡水一中 庄钊栋 陈铁乱

解析几何与高等代数是数学专业的两门基础课，它们分属几何与代数两大学科，各有独立的教学体系，彼此之间又有着密切的联系，而变换又是几何学与代数学中的分支，在经过多年的发展之后，变换已经积累了大量的理论和结果，其应用领域也在不断扩大.最初，变换主要用来讨论图形之间转变的问题，后来由于变换的应用越来越多，又将变换具体化，由此产生了线性变换，而正交变换是其中的一种变换.当时正交变换已经用来研究代数和几何中的很多问题，又由于应用的不同，将正交变换又具体分为平移变换、旋转变换、反射变换、滑移反射变换等.如今，正交变换本身及其在数学、物理学、计算机科学系、光学等领域中的应用越来越受到人们的重视.本文在前人研究的基础之上，试图研究正交变换的一些性质及其应用，使正交变换的一些性质能够反映到几何与代数上，通过代数与几何中共同的知识解决数学中的一些其他问题.

一、预备知识

定义1.1正交变换在代数中的定义：欧氏空间V的一个线性变换σ称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对任意的α，β∈V，都有（σ（α），σ（β））=（α，β）.

设η1，η2，…，ηn是欧氏空间V的一组标准正交基，在正交变换σ下，σ（η1），σ（η2），…，σ（ηn）也是V的一组标准正交基，设

A=（aij）为正交矩阵，则有限维向量空间V的正交变换σ可表示为σ：α→Aα，即σ（α）=Aα，其中A为正交矩阵.

定义1.2正交变换在几何中的定义：如果欧氏空间的点变换，把任意线段的两个端点变成等长线段的两个端点，则称其为正交变换（亦称全等变换，又称等距变换），平移、旋转、反射、滑移反射等是正交变换的几种特殊形式.

在标准正交基下，把点P（x1，x2，…，xn）变成点P′（x1′，x2′，…，xn′）的正交变换τ的公式表示是

其中A=（aij）为正交矩阵.

定义1.3取定平面π上向量υ.把平面π上的每一点P沿向量υ的方向平移到P′，使，这样得到的变换叫做平面π的一个平移变换，简称平移，记为tυ.

定义1.4把平面π上的每一点P绕一定点O旋转一定角θ变到另一点P′，这样得到的变换叫做π的旋转变换，简称旋转记为r（O，θ）.定点O叫做旋转心，定角θ叫做旋转角.

定义1.5取定平面π上的一条直线l.把任意一点P映到它关于直线l的对称点P′，这样得到的π的变换称为平面π对于直线l的轴反射变换，简称反射，记为sl，称l为反射轴.

定义1.6设υ是一个平行于直线l的向量，把每个点P变到它关于l的对称点Q以后再沿向量υ平移到P′，使，这样将P映到P′的变换称为沿直线l的滑移反射，滑移向量为υ.这也就是一个平行直线l的向量υ确定的平移tυ和对于直线l的反射sl的乘积tυsl.

二、正交变换在代数中的性质及其证明

性质2.1设σ是n维欧氏空间V的一个线性变换，于是下面四个命题是等价的：

（1）σ是正交变换；

（2）σ保持向量的长度不变，即对于α∈V，|σ（α）|=|α|；

（3）如果ε1，ε2，…，εn是标准正交基，那么σ（ε1），σ（ε2），…，σ（εn）也是标准正交基；

（4）σ在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.

证明：首先证明（1）与（2）等价.如果σ是正交变换，那么（σ（α），σ（α））=（α，α），两边开方即得|σ（α）|=|α|.

反过来，如果σ保持向量的长度不变，那么（σ（α），σ（α））=（α，α），（σ（β），σ（β））=（β，β），（σ（α+β），σ（α+β））=（α+β，α+β），

把最后的等式展开即得（σ（α），σ（α））+2（σ（α），σ（β））+（σ（β），σ（β））=（α，α）+2（α，β）+（β，β），

再利用前面的两个等式，就有（σ（α），σ（β））=（α，β），也就是说σ是正交变换.

再来证（1）与（3）等价.

设ε1，ε2，…，εn是一组标准正交基，即（εi，εj）=（i，j=1，2，…，n）.如果σ是正交变换，那么（σ（εi），σ（εj））= .这就是说σ（ε1），σ（ε2），…，σ（εn）是标准正交基.

反过来，如果σ（ε1），σ（ε2），…，σ（εn）是标准正交基，那么由α=x1ε1+x2ε2+…+xnεn，β=y1ε1+y2ε2+…+ynεn，

与σ（α）=x1σ（ε1）+x2σ（ε2）+…+xnσ（εn），

σ（β）=y1σ（ε1）+y2σ（ε2）+…+ynσ（εn），

即得（α，β）=x1y1+x2y2+…+xnyn=（σ（α），σ（β）），

因此σ是正交变换.

最后来证（3）与（4）等价.

设σ在标准正交基ε1，ε2，…，εn下的矩阵为A，即（σ（ε1），σ（ε2），…，σ（εn））=（ε1，ε2，…，εn）A，如果σ（ε1），σ（ε2），…，σ（εn）是标准正交基，那么A可以看做由标准正交基ε1，ε2，…，εn到σ（ε1），σ（ε2），…，σ（εn）的过渡矩阵，因而是正交矩阵.

反过来，如果A是正交矩阵，那么σ（ε1），σ（ε2），…，σ（εn）就是标准正交基.

这样，我们就证明了（1）（2），（3），（4）的等价性.

性质2.2设σ为欧氏空间V的可逆变换，则σ为V的正交变换的充要条件是：对任意的ξ，η∈V，有（σ（ξ），η）=（ξ，σ-1（η））.

证明：必要性：因为可逆变换σ为V的正交变换，所以对任意的ξ，η∈V，有（σ（ξ），η）=（σ（ξ），Eη）=（σ（ξ），σ（σ-1（η）））=（ξ，σ-1（η））.

充分性：由条件知，对任意的ξ，η∈V，

有（σ（ξ），σ（η））=（ξ，σ-1（σ（η）））=（ξ，Eη）=（ξ，η）.

所以由性质2.1可知，σ为V的正交变换.

对任意的ξ，η∈V，a∈R，

所以σ是V到V的线性变换.

对任意的ξ∈V，

这说明|σ（ξ）|=|ξ|，根据性质2.1可知，σ是V的正交变换.

性质2.4设α1，α2，…，αm和β1，β2，…，βm是n维欧几里得空间的两个向量组，试证明存在一个正交变换σ，使得σ（αi）=βi，i=1，2，…，m的充要条件是（αi，αj）=（βi，βj），i，j= 1，2，…，m.

证明：必要性：设σ是正交变换，满足σ（αi）=βi，i= 1，2，…，m，由正交变换的定义，有（βi，βj）=（σ（αi），σ（αj））=（αi，αj），i，j=1，2，…，m.

充分性：已知（αi，αj）=（βi，βj），i，j=1，2，…，m.

若α1，α2，…，αm线性无关，将其单位正交化，得到ε1，ε2，…，εm，它们两两正交，且都是单位向量.

设ε1=a11α1，

ε2=a12α1+a22α2，

…

εm=a1mα1+a2mα2+…+ammαm，

写成矩阵形式（ε1，ε2，…，εm）=（α1，α2，…，αm）A，

构造向量组η1=a11β1，

η2=a12β1+a22β2，

…

ηm=a1mβ1+a2mβ2+…+ammβm，

其矩阵形式为（η1，η2，…，ηm）=（β1，β2，…，βm）A，

下面证明η1，η2，…，ηm线性无关.

对k1η1+k2η2+…+kmηm=0，两边用ηi（i=1，2，…，m）作内积，得齐次线性方程组

k1（η1，ηi）+k2（η2，ηi）+…+km（ηm，ηi）=0，i=1，2，…，m.

方程组的系数矩阵的行列式

由于ε1，ε2，…，εm线性无关，所以ε1，ε2，…，εm的格拉姆行列式不等于0，所以η1，η2，…，ηm线性无关.

分别将ε1，ε2，…，εm与η1，η2，…，ηm扩充成标准正交基：ε1，ε2，…，εn和η1，η2，…，ηn，则存在线性变换σ，使σ（εi）=ηi，i=1，2，…，n.

由于ε1，ε2，…，εn与η1，η2，…，ηn都是标准正交基，所以σ是正交变换.

又（β1，β2，…，βm）A=（η1，η2，…，ηm）

=（σ（ε1），σ（ε2），…，σ（εm））

=σ（ε1，ε2，…，εm）

=σ（α1，α2，…，αm）A.

由于A是可逆矩阵，于是有σ（αi）=βi，i=1，2，…，m.

当α1，α2，…，αm线性无关时，不妨设α1，α2，…，αr是一个极大线性无关组.由上面证明知道，β1，β2，…，βr线性无关，对于∀j，

所以β1，β2，…，βr是β1，β2，…，βm的一个极大线性无关组.

对α1，α2，…，αr与β1，β2，…，βr用前述方法可得到正交变换σ，使得σ（αi）=βi，i=1，2，…，r.而r+1≤s≤m，

三、正交变换在几何中的性质及其证明

性质3.1设σ为欧氏空间V中的等距变换，x，y为V中的任意两点，则有

（1）x·y=［σx）-σ（0）］·［σ（y）-σ（0）］，

（2）σ（x+y）=σ（x）+σ（y）-σ（0），

（3）σ（kx）-σ（0）=k［σ（x）-σ（0）］（k∈R）.

证明：（1）因为σ为等距变换，所以d（0，x）=d（σ（0），σ（x）），d（0，y）=d（σ（0），σ（y）），d（x，y）=d（σ（x），σ（y））.

又因为d2（x，y）=|y-x|2=d2（0，x）+d2（0，y）-2x·y，

d2（σ（x），σ（y））=|σ（y）-σ（x）|2

=d2（σ（0），σ（x））+d2（σ（0），σ（y））-2［σ（x）-σ（0）］·［σ（y）-σ（0）］.

比较以上两式，立即得出（1）的结论是成立的.

展开后利用（1）的结论得

=（x+y）2+x2+y2-2（x+y）·x-2（x+y）·y+2x·y=0.

所以，σ（x+y）-σ（x）-σ（y）+σ（0）=0，因此（2）的结论是正确的.

（3）的证明与（2）的证明类似，在此省略.

性质3.2n维欧氏空间V中一个变换σ为等距变换的充分必要条件是σ（x）=xA+x0，（1）其中x为V中任意一点，x0为V中一定点，A为正交矩阵.

证明：必要性：取V中n+1个点，原点O，V1（1，0，0，…，0），V2（0，1，0，…，0），…，Vn（0，0，…，0，1），Vi的向径记为ei.设x=（x1，…，xn）为V中任意一点，那么

应用性质3.1得

充分性：将（1）改写成σ（x）=xA+x0，显然x0=σ（0），设x，y为V中任意两点，有

d2（σ（x），σ（y））=|σ（y）-σ（x）|2=|（y-x）A|2

=（y-x）AA′（y-x）′|y-x|2=d2（x，y），

即d（x，y）=d（σ（x），σ（y））.充分性得证.

性质3.3一个平移和一个反射的乘积是一个滑行反射.

证明：设l是π上一条直线，υ是π上一个向量.考虑对于l的反射sl和υ确定的平移tυ.取l为x轴建立直角坐标系，设υ（x0，y0）.令u（x0，0），方程为的直线记为l′.考虑沿直线l′且滑移向量为u的滑移反射f=tusl′.设f将点P（x，y）映到点P′（x′，y′），则但sl将P（x，y）映到Q（x，-y），tυ将Q（x，-y）映到P′（x+x0，-y+y0）.于是tυsl也是将P映到P′.因此，tυsl=tusl′，即证明了一个平移和一个反射的乘积是一个滑移反射.

四、代数中的正交变换与几何中的正交变换的区别与联系

定义1.1和定义1.2虽则都称为正交变换，但是仅仅从定义上看，它们是有明显区别的：

定义1.1中的σ是欧氏空间V的线性变换，而定义1.2中的τ是欧氏空间中的一个变换，但并没有强调它必须是线性变换.

事实上，从变换公式中我们可以很容易地看到，对于σ有，对∀α，β∈V，k，m∈F（F是数域）有σ（kα+mβ）= A（kα+mβ）=k（Aα）+m（Aβ）=kσ（α）+mσ（β）.

另一方面，只有当（a1，…，an）T=0时，τ才是线性变换，一般情况下τ不是线性变换.因此，一般而言，这两个概念是有差异的.

除上述差异外，这两个概念之间其实还存在许多相同之处：

（1）变换σ，τ的公式表示中，矩阵都是正交矩阵；

（2）σ保持向量的长度不变，τ保持两点间线段的长度不变，二者都具有保距性；

（3）σ把V中的标准正交基变成标准正交基（这也是之所以称其为正交变换的原因），而易于证明，τ也是把欧氏空间的标准正交基变成标准正交基.

由此看来，定义1.1和定义1.2在本质上又是一样的.

平面上的平移变换（又称点变换）是一个等距变换，而在此变换下，标准正交基仍变成标准正交基.同时，该平移诱导了一个正交向量变换，其表达形式为τ（α）=Aα，这和定义1．1中的表达形式是一致的，即平移变换是等距变换，本质上也是正交变换．因此，我们可以说正交变换、等距变换是一个概念，这也是将正交变换又称为等距变换的原因．

但一般而言，平面的正交变换和仿射变换不是线性变换．

因此，既充分考虑到代数中和几何中正交变换两个概念在本质上的一致（保距，保正交，都可以写成正交向量变换的形式），又考虑到两个概念在形式上的区别，可将代数中的正交变换称为正交向量变换，将几何中的正交变换称为正交点变换，二者都是等距变换．

五、正交变换的应用

1．正交变换在重积分中的应用

证明：设（a，b，c）为三维空间的一个向量，单位向量化得

再将其扩充为三维空间的一个标准正交基，设为（a1，

作正交变换

则A为正交矩阵，即AAT=E，所以

两边转置得（x，y，z）=（u，v，w）A．于是

又因为AAT=E，而，由（1）式知，ax+by+cz=ku．

解：令f（x，y，z）=5x2+6y2+4z2-4xy-4xz，

容易判断它是一个正定矩阵，设其特征值为λ1，λ2，λ3，则λ1＞0，λ2＞0，λ3＞0，|λ1λ2λ3|=|A|=80＞0，

使f（x，y，z）=λ1u2+λ2v2+λ3w2．

由正交变换的性质可得

2．正交变换在曲面方程中的应用

二次曲面的方程

a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2a14x+2a24y+ 2a34z+a44=0，（4）

X=（xyz1）T，A=（aij）3×3，（4）式可写成XTA~X=0，A~和A都是实对称矩阵.设T=（tij）3×3为三维空间正交变换的矩阵，将x，y，z的二次式（4）化成x′，y′，z′的二次式，但x′，y′，z′的二次式所对应的对称矩阵为B~和B，有|A~|=|B~|，| A|=|B|，秩（A~）=秩（B~），秩（A）=秩（B）.

适当地选取正交矩阵T=（tij）（i，j=1，2，3），|T|=1，可有

T′AT=diag（λ1，λ2，λ3），（xyz）T=T（x′y′z′）T，

则方程（4）可化成

λ1x′2+λ2y′2+λ3z′2+2b14x′+2b24y′+2b34z′+b44=0，

对此再进行坐标系的平移与旋转可得其标准型.

例3用正交变换法化二次型f=2x1x2-2x3x4为标准型.

λ3=λ4=1，解特征方程得到ξ3=

则P是正交矩阵，且有PTAP=

例4求证曲面∑1：x3-y+z-1=0和∑2：x3-6x2+12x-y+ z-5=0关于点M（1，1，0）对称.

证明：设点P（x1，y1，z1）是∑1上任意一点，则z1-1=0.

若σ（P）=P′（x1′，y1′，z1′），则可以得知

代入得（2-x1′）3-（2-y1′）+（-z1′）-1=0，

整理得x1′3-6x1′2+12x1′-y1′+z1′-5=0，

即（x1′，y1′，z1′）在∑2上.

反之，可以证明对∑2上任意一点Q（x1，y1，z1），σ（Q）=Q′也都在∑1上，即∑1，∑2关于点M（1，1，0）对称.

例5求与椭球面∑10，1）对称的椭球面∑2的方程.

解：将∑1的方程中的下x，y，z分别用-2-x，-y，2-z代替，得即∑2的方程为

3.正交变换在条件极值中的应用

例6求F（x，y）=x2+y2在条件3x2+4xy+3y2=1下F的最大值和最小值.

解：3x2+4xy+3y2=1和F（x，y）=x2+y2表示为的特征根为1和5，取T=

因此求在条件X2+5Y2=1下，F=X2+Y2的最大值和最小值就可以了.

4.旋转变换在多元函数积分中的应用

例7设曲面∑为球面：x2+y2+z2=a2.试计算第一型曲面积分

解：直接计算将非常困难，但如果将被积函数化为一元函数，则有可能积出，加之被积函数中的x-2y-2z是x，y，z的线性函数，因此可考虑坐标系的旋转，例如，作旋转变换

注意（5）式中的变换矩阵是一个行列式为1的正交矩阵，因此它可以表示一个将空间右手直角坐标系Oxyz变成右手直角坐标系Ox′y′z′的旋转变换，在此变换下（空间的点未动，只是点的坐标变了），∑的方程变为∑′：x′2+y′2+z′2=a2，所求积分化成为

利用球面的参数方程

r=（x′，y′，z′）=（asinφcosθ，asinφsinθ，acosφ），0≤φ≤π，0≤θ≤2π，

六、结束语

本文重点讨论了正交变换在重积分中的应用，化二次型为标准型中正交变换的应用，正交变换在曲面方程中的应用，正交变换在条件极值中的应用以及正交变换的一些性质及其证明.当然，本文仅讨论了正交变换在有限的数学范围内的应用，还有许多正交变换在其他数学领域内的应用并未讨论.

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