一类实际问题的解题策略的探讨

☉湖北省华中师大一附中 刘子灵 周龙虎

一类实际问题的解题策略的探讨

☉湖北省华中师大一附中 刘子灵 周龙虎

新课标的基本理念要求发展学生的数学应用意识，倡导积极主动、勇于探索的学习方式，并提出数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识的能力，并逐步形成学生的创新意识．全国高考坚定不移地践行这一基本理念，坚持“贴近课本、贴近生活、贴近实际”的原则，要求考生一方面要牢固掌握基础知识、基本技能和基本方法；另一方面要善于把文字语言转译成数学语言，实现由实际问题向数学问题的转化．因而也加大了对数学应用问题的考查，如2016年全国卷I中的资源配置利润最大化问题（重点考查线性规划等知识）、公司购置设备与配套零件最优化问题（重点考查概率统计知识）等，这要求我们积极主动地探索应用题的解题策略．笔者在第一轮复习中对一类实际问题加以归纳，整理出来，以期对我们同学的学习有一定的帮助．

例1如图1，铁路线上AB段长100千米，工厂C到铁路的距离CA为20千米．现要在AB上某一点D处向C修一条公路，已知铁路每千米的运费与公路每千米的运费之比为3∶5．为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最少，D点应选在何处？（选自普通高中数学实验教科书人教A版《必修1》教师用书）

对于经过整个高中学段系统学习的高三学生来说，此题还是具有很大的难度．我们给出三种解题思路：

图1

解法一：设|DA|=x（千米），铁路每千米的运费为3a，公路每千米的运费为5a，从B到C的总费用为y，令，则f′（x）=．令f（′x）=0，得x=15．当0＜x＜15时，f（′x）＜0；当15＜x＜100时，f′（x）＞0．故f（x）在x=15处取得极小值，也是最小值，即当D点选在距A点15千米处时，总运费最省．

平方、整理，得16x2-6tx+10 000-t2=0．①

由①有解知，Δ=36t2-64（10 000-t2）≥0，即|t|≥80．

其中t＞0，故t≥80．此时x=15，代回①中，求得方程的解在x∈（0，100）的范围之内，即当D点选在距A点15千米处时，总运费最省．

解法三：设∠ADC=α，铁路每千米的运费为3a，公路每千米的运费为5a，从B到C的总费用为y，由依题意知，的几何意义为第一象限内单位圆上一动点到点）连线的斜率的相反数，由图像观察知该式最小值时，即当D点选在距A点15千米处时，总运费最省．

学生得到（*）式后，要么直接研究函数的最值，如解法一，直接研究要受函数解析式的繁难程度的影响，且对运算熟练程度有较高的要求（还有文科生没有学习过对复合函数求导的方法）；要么无可奈何，没有转化的意识，转化为熟悉的二次方程有解问题．对于解法二，值得一提的是，一个成功的换元能使问题再次优化不少，引入的新参量a不影响总费用y的求值，因而令“是一个不错的选择．其次，还很容易犯“对而不全”的错误．就是方程①有解是在x∈（0，100）范围内，Δ≥0只是它成立的必要条件，因而得到t≥80时还需检验解是否在x∈（0，100）范围内．

解法三在数学语言的转化上做足了文章，选择不同的变量自然会得到不同的数学模型，虽然直接求函数最值时，解法三要比解法二简便，但是解法三对三角的要求较高．权衡来说，解法二将函数的最值问题转化为含参一元二次方程有解问题，不失为一种更好的解决办法．

例2某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克．根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：

P=1000（x+t-8）（x≥8，t≥0），

当P=Q时，市场价格称为市场平衡价格．

（1）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；

（2）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？

当判别式Δ=800-16t2≥0时，可得

（2）政府补贴至少为每千克1元，过程略．

这是一道经济改革与百姓生活紧密相连的应用题，有鲜明的时代感．正因为有了第（1）问的铺垫（用x表示成t的函数），第（2）问才好研究，否则讨论“关于x的方程5x2+（8t-80）x+（4t2-64t+280）=0（t≥0）在x∈［8，10］上有解，求满足题意的t的最小值”就只能利用二次方程根的分布进行讨论了！因而，直接求根，更替主元和参量，也是一种解决思路．

例3如图2，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

图2

（1）求炮的最大射程；

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3．2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

解：（1）炮弹的最大射程为10千米，过程略．

（2）因为a＞0，所以炮弹可击中目标

⇔关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根．

由方程有根得Δ=（-20a）2-4a2（a2+64）≥0⇒a≤6．

故当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标．

笔者给出一个变式题，感兴趣的读者不妨一试，以体会解决这类实际问题中两种策略所带来的便利．

变式如图3，小明同学制作了一个简易的球发射器，可用于帮忙练习定点接发球，球场前半区、后半区总长为23．77米，球的中间部分高度为0．914米，发射器固定安装在后半区离球底部8米处中轴线上，发射方向与球底部所在直线垂直．

图3

图4

为计算方便，球场长度和球中间高度分别按24米和1米计算，发射器和球大小均忽略不计．如图4所示，以发射器所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上的球场中轴线上，y轴垂直于地平面，单位长度为1米，已知若不考虑球的影响，球发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中k与发射方向有关．发射器的射程是指球落地点的横坐标．

（1）求发射器的最大射程；

（2）请计算k在什么范围内，发射器能将球发过（即球飞行到球正上空时，球离地距离大于1米）？若发射器将球发过球后，在球着地前，小明要想在前半区中轴线的正上空选择一个离地面2．55米处的击球点正好击中球，试问击球点的横坐标a最大为多少？并请说明理由．