正多边形中的一个规律

陈世声

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）01-0104-01

知识点：（1）正三角形，正四边形，正五边形…正多边形的性质；

（2）三角形全等的判定；

（3）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。

（2007·乐山）1.如图1，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F。

（1）求证：AD=CE

（2）求∠DFC的度数

证明：（1）∵等边三角形ABC，∴AB=AC，∠B=∠BAC=60°，在△ABD与△CAE中，AB=AC∠B=∠EACBD=AE

∴△ABD≌△CAE（SAS）

∴AD=CE

（2）由（1）证得：△ABD≌△ACE

∴∠BAD=∠ACE

∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60 °

∴∠BAD+∠DAC=60 °

∴∠ACE+∠DAC=60 °=∠DFC

2.如图2，在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，且AE=BF，AF与DE交于点G。

（1） 求证：AF=DE

（2） 求∠AGD的度数

证明：∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠B=∠DAE=90°

在△ABF和△DAE中，AB=DA∠B=∠DAEBF=AE

∴△ABF≌△DAE

∴AF=DE

（2）由（1）證得∴△ABF≌△DAE

∴∠BAF=∠ADE

又∵∠BAF+∠DAG=90°

∴∠ADE+∠DAG=90°

∴∠AGD=90°，

即AF⊥DE。

3.（2014年内江）如图3，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P。

（1）求证：△ABM≌△BCN；

（2）求∠APN的度数

（1）证明：∵正五边形ABCDE，

∴AB=BC，∠ABM=∠C，

∴在△ABM和△BCN中

AB=BC∠ABM=∠CBM=CN

∴△ABM≌△BCN（SAS）；

（2）解：∵△ABM≌△BCN，

∴∠BAM=∠CBN，

∵∠BAM+∠ABP=∠APN，

∴∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC=108°

即∠APN的度数为108°。

这些题都有这个规律性，这两个全等的三角形的第三边的夹角都等于这个正多边形的一个内角的度数，

正三角形：60°

正四边形：90°

正五边形：108°

…

学会了一种方法，会做一类题，这就是数学方法的妙用！