高中数学数列的解题常规方法分析

孙潇婧

【摘要】数列是高中数学关键知识点之一，我们要想在高中数学考试中取得理想的成绩，掌握数列的解题思路与解题技巧至关重要。我将重点总结高中数学数列的解题常规方法。

【关键词】高中数学 数列 解题方法 探究

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）01-0103-01

数列是高中数学重难点之一，高考中涉及数列知识的考题难度系数多中等偏上。由于数列是特殊的函数，涉及大量的数学思想与知识点，如函数方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等。高考中的数列试题考查学生的综合性知识掌握程度，不仅有复杂的运算，还需要一定的技巧，要想缩短解题时间、提高解题的正确性，就必须掌握好的解题方法与技巧。

一、掌握数列的概念与基本性质

我在遇到数列试题时，首先会分析数列试题的构成，总的来说，数列试题多考查我们对数列基本概念以及通项公式的理解与掌握程度，在日常学习中应重视这两方面知识的学习。

（一）数列的基本概念

遇到考查数列基本概念的试题，一般直接运用通项公式、求和公式来解答，这类试题比较基础简单，没什么技巧可言。

掌握等差数列知识点，必须掌握a1、d、n、an、sn这5者之间的关系，能从任意已知的3个量中，求出另外2个量，这就运用了方程思想；掌握等比数列知识点，也是能从a1、q、n、an、sn这5个量中，任意已知3个量得出另外2个量。如，等差数量an，前n项和为sn，（n为整数），如果a5=5，s10=60，求数列的前5项和s5？利用等差数列公式：an=a1+（n-1）·d，等差公式前n项和公式为：an=n·（a1+an）/2，求出a1=-3，d=2，s5=10。在解答此类题型时，灵活运用等差数列的通项公式、求和公式是关键，首先求出a1和d，然后利用通向公式求出an与sn，因此，我们只有掌握了数列的概念及公式，才能准确解答此题试题。

（二）考查数列的性质

二、理解掌握数列前n项和的求法

（一）错位相减法

分析近10年的高考数学试题发现，能运用错位相减法解答的试题多侧重于等比数列的推导以及相关数列公式的应用，此类题目解答的关键就是灵活运用平时教师讲解的（等差数列×等比数列）类型数列的前n项和解法。如，已知数列an的前n项和为sn，其中a1=1，an+1=2sn（n为正整数），求数列an以及数列nan的前n项和Qn，在解答这种类型题目时，学生要理解掌握题目的特点是等差数列与等比数列的对应项相乘求和，此类题目就可使用错位相减法解答。在解题过程中，第一步是求出等比数列的公比以及首项，然后利用等比数列相关公式，算出a1=1，n=1，那么an=2·3n-2，其中n≥2，那么Qn的公式就出来了，然后根据Qn算出3Qn，使用错位相减法，两个表达式相减得出Qn=1/2+（n-1/2）·3n-2，其中n≥2，经验证n=1时，上式也成立，得出n的范围为正整数，由数列的性质以及解题方法看出，错位相减法在求（等差数列×等比数列）类型数列前n项和中运用比较合适。所以，我们在学习该知识点时，首先要全面掌握该知识点，然后重视学习解题思路，在解题过程中总结相关规律，总结解题方法。

（二）分组求和法

这种解题法适用于那些既不属于等差数列，也不属于等比数列的试题，解题时，将其拆分成几个不同部分，能得出是等差数列或等比数列的组合。对于此类试题，一般采用分组求和法，将题中数列拆分成几个容易求和的数列，分别求和后，最后合并求和。如，已知数列an（n为正整数），an=n+2n，求数列an的前n项和sn。解题时，先假设n=1、2、3、4…那么，a1=3，a2=6，a3=10，a4=18…，由此可见，an既不是等差数列，也不是等比数列，但是n+2n前面n是等差数列，后面2n是等比数列，因此，假设cn=n，dn=2n，那么，an=cn+dn，那么，等差数列cn的前n项和为n+n·（n-1）/2；等比数列dn的前n项和为2·（2n-1）/2，那么数列an的前n项和为[n+n·（n-1）/2]+[2·（2n-1）/2]。由此可见，对于一些不能直接求和的数列，首先要学会拆分，然后求出每个子数列的前n项和，最后将每个子数列的前n项和相加，就得出原来数列的前n项和，值得一提的是，解答该类型题目的关键就是拆分题中的数列，可灵活使用多种拆分法，切忌拘泥于一种。

（三）合并求和法

在数列章节，常常会涉及到一些复杂特殊的数列题型，解答这类题型时，首先要整合数列中的某些项，才能发现计算方法与技巧，所以，教师在教学过程中，应积极引导学生分析数列题中的合并项，合并完这些合并项后方可解题，能有效将难题简单化。

如，已知数列an，n为正整数，其中a1=2，a2=7，a3=5，an+2+an=an+1，求数列an的前1999项和S1999，假设n=4，5，6，那么a4=-2，a5=-7，a6=-5，由此可见，数列an既不是等差数列，也不是等比数列，但是，在分析的过程中，发现a6m+1=2，a6m+2=7，a6m+3=5，a6m+4=-2，a6m+5=-7，a6m+6=-5，（k为正整数），由此可见S1998=0，S1999=0+S1999，由于1999=6×333+1，所以，a1999=2，那么S1999=2。从该题的解答过程中，我们可以看出使用合并求和法的关键在于找出数列中的特殊项，将特殊项合并，然后相互消减，将剩下的各项相加就得出了所求的前n项和，得出最终答案。

综上所述，数列章节知识点是高考考查的重點也是难点，并且会与三角函数、方程、不等式等知识点紧密联系在一起，相互渗透，一定程度上加大了题目的难度。学生要想成功解答数列试题，必须全面掌握数列概念以及基本性质，否则任何的解题方法与技巧都是空谈。

参考文献：

[1]曹辉.高中数学数列试题的解题方法与技巧研究[J].数理化解题研究，2015，13（18）.

[2]林昭涛.探讨高中数学数列试题的解题方法与技巧[J].中国科教创新导刊，2014，13（12）.

[3]赵茜芸.高中数学数列试题的解题方法初探[J].数理化解题研究，2014（10）.