线性代数课程内容及局部体系教学改革思考

谭玉顺

【摘要】本文针对当前非数学专业线性代数课程建设的实践教学现状，按照“教育数学”的理念，分析了线性代数的数学思想，对线性代数教学内容、局部体系、教学方法等方面的改革进行探讨，其宗旨是从整体上把握线性代数课程的主线和核心，提高线性代数的教学效果，最后结合教学实践简要介绍了提高教学效果的一些做法和體会.

【关键词】线性代数；数学思想；教育数学；教学改革

【中图分类号】G642 【文献标志码】A

线性代数是高等学校经济、管理和理工科等有关专业的一门重要基础课，在培养学生数学素质和数学能力等方面起着重要的作用.近十年来，由于信息条件下新的教学方法的出现，教学改革也在不断地深入，已经逐步涉及对传统的教学模式、教学内容的改革.

为适应新的变化以及教育数学发展的总体目标，促进学科交叉，提高学生数理与数量分析能力，同时满足学生自身兴趣和发展方向的个性化需求，线性代数课程教学有必要在课程建设方面，对教学内容和教学方法进行大胆的创新尝试和改革.近年来，我们针对财经类学院的学生，加强线性代数内容、局部体系教学方法改革的研究，并进行了初步实践，取得了一些成果，正努力把线性代数课程打造成一门精品课程.

一、按照教育数学的理念，探讨线性代数的数学思想

在数学教学的过程中，其核心问题之一是将数学思想方法渗透到教学过程当中.数学思想是数学不断发展过程中逐步产生的，它是学习数学的人所具有的一种基本的思维特征，可以归纳为三种基本思想：抽象、推理和模型.

数学抽象包括数量与数量关系的抽象，图形与图形关系的抽象，通过抽象，把外部世界与数学有关的东西抽象到数学内部，形成数学研究的对象.线性代数课程中存在着大量的概念.概念是线性代数的法、线性代数的魂，在教学过程中，教师要在概念的含义上下功夫教，要用形象的语言解释概念，学生要在概念理解的基础上准确地表达概念，不能死记硬背.

数学问题通过推理，得到数学的命题和计算方法，促进数学内部的发展.数学推理存在有两种形式的逻辑推理，一是归纳推理，一是演绎推理.归纳推理是一种从特殊到一般的推理；演绎推理是一种从一般到特殊的推理.线性代数课程中存在大量的定理、命题，比如向量的线性相关、极大无关组等内容涉及向量线性相关、线性无关的判断，向量组线性相关与方程组解的关系等，在教学过程中可以根据学生的实际选取部分内容训练学生的推理能力.

数学模型更侧重于用数学的概念、原理和思维方法描述现实世界中的那些规律性的东西，数学模型构建了数学与现实世界的桥梁.数学工作者在构建数学模型和实际应用的过程中，促进数学自身的发展.不少教材在线性代数内容如矩阵、向量、二次型等给出一些例子，设计到信号处理、在密码设计、电路、统计、经济管理等各个领域，这些科学或生活中的真实案例有助于激发学生的学习积极性和创造性，提高学生的理论联系实际的能力.

二、按照“教育数学”的理念，探讨线性代数教学内容和局部体系改革

目前，大多数大学的线性代数的教学内容基本相同，主要内容涉及行列式、矩阵、向量的相关性、线性方程组、特征值和特征向量、二次型等六大块，一些重点大学的内容可能会更多一点，这既是线性代数本身的基本内容所决定，也与教学指导委员会对线性代数课程的教学要求和硕士研究生的入学考试内容相一致.

按照“教育数学”的理念，要从学生的实际情况着手，对线性代数知识在局部体系结构的简约和教学的有效性作一些改革，力求呈现科学的逻辑体系、简单明了的内容、学生易于接受的讲授方法，进而优化线性代数的概念、原理和方法的表述方式，化解线性代数的教学难点，向学生传授系统的、优化的线性代数知识.

（一）关于行列式

行列式的定义采用归纳法进行讲述，即先给出二阶、三阶行列式的定义，然后利用行列式的第一行（或第一列）展开归纳定义行列式，进而利用归纳的思想给出n阶行列式的概念.并用归纳法证明了转置行列式的性质和展开定理，接下来，学生掌握了行列式的展开定理后，对行列式的其他性质就易于推导和掌握.

在行列式计算中，一些特殊的行列式要用到特殊的一些技巧，在传统的教学中特别重视这些技巧的使用，当下线性代数课程应该利用新的计算技术，增加数学软件（Matlab、Mathematics）的实验课很有必要，围绕线性代数的教学内容来介绍如何使用这些数学软件解答相关的问题.

（二）线性方程组

尽早建立线性方程组的理论，将向量组相关性理论、线性方程组理论、矩阵理论与行列式理论充分结合，用定理形式建立一系列等价命题，易于理解和掌握.这些理论建立起来后，可以介绍矩阵可逆的一些等价命题：①A是可逆的；齐次线性方程组AX=0只有零解；②非齐次线性方程组AX=b有唯一解；③A与I行等价；④A可表为有限个初等矩阵的乘积.这样，这些被零散地、一个个地分布在教材的多处章节的结论就充分地联系在一起了.

（三）关于Jordan标准形的问题

Jordan标准形在科学技术中的重要应用，是计算方法、控制理论等许多后继学科的理论基础，也是本科教学当中的一个盲点，在很多高校的教学中基本不讲.对于理工科专业的学生，有必要让学生了解Jordan标准形的存在性、唯一性是什么，怎么求的，以简介的形式教学，可以省略证明.

（四）关于线性代数课程内容的主线

线性代数的起源之一是线性方程组，线性方程组几乎贯穿于线性代数教学内容的始终，可以说线性代数本身几乎所有的内容都与线性方程组有关，如向量组的线性相关性，从解线性方程组的角度看，背景就是去掉多余的方程；抽取线性方程组中的未知变量即为矩阵；行列式用于解决特殊的线性方程组和方程组解的结构；特征值和特征向量也是用线性方程进行求解的；二次型本身包含线性方程组的部分.除了这些外，还有很多例子.线性方程组的实际应用非常广泛，因而其解的结构和求解是线性代数教学中的一条主线.

（五）关于线性代数课程内容的核心

线性方程组的核心在于矩阵的对角化（更广义一点来讲是矩阵的上三角化），线性方程组的求解、行列式的计算、方阵求逆、矩阵求秩都是利用矩阵的初等变换将其换成上三角矩阵或者对角矩阵，另外，相似矩阵的标准形、對称矩阵的正交矩阵、合同矩阵、化二次型为标准形都离不开矩阵的对角化.在线性代数的教学过程中要依照其主线讲清楚它的核心和主要方法，即前面提到的数学思想.

三、按照“教育数学”的理念，探讨线性代数教学方法改革

（一）线性代数与解析几何相结合是可取的做法

事实上，非数学类没有专门开设解析几何这门课程，解析几何内容不是放在线性代数就是放在微积分中讲，当然两者的侧重点有所不同，向量、直线与平面的内容与线性代数结合很自然，对线性代数和几何的融会及相互影响是有利的.如果在教学过程中能将线性代数中内容与解析几何相对应，将会大大提高学生对于代数内容的理解能力.

比如在介绍行列式时，就以二阶行列式为例，介绍如何从几何角度去理解它的行列式的定义，将二阶行列式的计算同平行四边形的面积计算相结合，通过引入有向面积，分析研究行列式的相关性质，这样一来有些性质就可不证自明.

（二）关于线性代数的计算技巧的问题

计算能力是重要的数学能力之一，在一定程度上培养学生的计算思维，随着现代计算工具的发展，计算问题不再是我们重点考虑的，因此在教学过程中我们不能过于强调手工计算的技巧.当前如果学生在学完线性代数后只会矩阵的初等变化、行列式的计算，那么线性代数的教学不能算是成功的.现在计算软件matlab、mathematics只需一个命令即可完成这些计算.

（三）关于教学内容讲授顺序调整

当前国内大多数教学内容安排为行列式、矩阵、向量与向量空间、线性方程组、特征值与特征向量、二次型，一些教材会安排线性变换的内容，一般会安排在二次型之后，这是因为传统矩阵秩的定义离不开矩阵的行列式，故一般将行列式安排在第一部分，但是行列式的传统定义对于初学者而言又较难接受.作者近年来经过尝试，更倾向于这样的教学顺序，即先介绍线性方程组，然后介绍矩阵、矩阵初等变换、矩阵分块等，然后根据矩阵等价标准形的唯一性给出矩阵秩的概念.接下来介绍线性相关、向量组的秩，再完成线性方程组的解的理论.

四、线性代数课程提高教学效果的思考

1.注重数学思想和数学能力的培养和提高.灵活的教学方法是关键，改变课程过于注重知识传授的倾向，强调形成积极主动的学习态度；使学生熟练掌握线性代数的基本思想和基本知识与技能，加强课程内容与学生所在专业的其他课程的联系.

2.开展研究性教学尝试，注意创造性与开放性思维的培养.在教学的过程中，教师要引导学生思考学习，充分保证学生的主体地位，处理好传授知识与培养能力的关系，促进学生主动地、富有个性地学习.比如将实际生活中的一些问题作为实验例子让学生建立数学模型，并结合数学计算软件让学生得出一些结果，这样更能促进学生的创造性思维.

3.在教学的“过程与方法”上，应从概念的建立过程，相关原理、规律的发现与认识过程，以及概念、定理、性质的应用过程上思考与实践，让学生真正感受到获取知识、应用知识的乐趣，意识到科学思维方法和科学探究方法的意义和价值，并在具体学习中有所体现，进而逐步形成自觉的行为.

4.在教学过程中不过度依赖PPT，要多媒体教学与板书有机结合，尤其是在讲解例题推导过程中.通过板书有助于突出重点，使学生加深印象.

5.重视在线学习平台辅助教学.随着科学技术的进步，特别是网络技术、信息化教学的飞速发展，知识的传播、获取知识的方式、途径越来越广泛，这对传统的教学模式和教学手段都会产生很大的影响和深刻的变革，特别是对学生的学习方式将会产生前所未有的影响，在这种情形下，教学过程中学生的主体地位和能动作用将更加突出.以MOOC（慕课）为代表的国内外在线开放课程，不仅为广大学习者提供了免费、便捷的在线学习课程，也推动着高校在课程建设、教学方法和教学模式等方面的改革.这些在线教学平台的建设，极大地丰富了教学的呈现形式，是对传统教学的有益补充，在一定程度上提高了教学资源的使用效率，提高了教学质量和教学效果.

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