系统思维和逆推思维在高等数学中的应用探索

杨红莉+曾宪阳

（1.南京工程学院数理部，江苏 南京 211167；2.南京工程学院工业中心，江苏 南京 211167）

摘要：高等数学是高校基础课程之一，其学习的核心不仅在于知识的掌握，更在于思维方式的学习。系统思维和逆推思维的应用不仅能提高高等数学学习效率，也可帮学生更好的应用高等数学知识。文中结合本人教学实践，探索教师在教学及学生学习过程中应如何具体应用系统思维和逆推思维。

关键词：系统思维；逆推思维；高等数学；教学实践

中图分类号：O13 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）52-0190-02

一、引言

为什么我们的学校总是培养不出杰出人才？距离钱学森之问，已俞一旬，国内教育已经取得了可喜的进步与成就。然而，尚有某些地方有待优化。正如国外某知名大学的校长所说，中国留学生们勤奋是有的，创新也不缺，可有一点，很令人感到遗憾，那就是中国留学生们，不敢质疑教授，遑论与教授争论。质疑是科学发现的起点，古人云：“学贵多疑，小疑则小进，大疑则大进”，由此可见一斑。而令人遗憾的是，质疑精神的确为现代学生所欠缺，实际教学经历也印证了这一点。学生们大多沉默地听讲，鲜有提出不同见解的。基于当前这些现象，本文将论述两种思维方法——系统思维和逆推思维，希望能对高校教师教学有所襄助，对莘莘学子学习有所裨益。

二、系统思维及其应用探讨

通俗地说，系统思维就是将所学习的内容按并列、从属等关系分类、归纳并总结后，创建一个知识体系。分类的过程类似于将发到手的牌按一定顺序整理好的过程。对知识分类之后归纳总结的过程则仿若插花。不同种类的花，经由心灵手巧的插花人妙手拨弄，无形之中形成了一种艺术美，缤纷而又融洽。无论是教还是学，善学善思者，美甚矣。然而知识的浩瀚繁复，不由得对这种插花似的整理过程的要求高了起来。在高等数学学习过程中，稀里糊涂地规避可能的陷阱，跌跌撞撞地前进，让很多学生感觉到深深的疲倦和劳累，遑論对高等数学这门课程产生热爱与激情了。质疑教授乃至于与其思维碰撞产生火花，更加是不可能的了。

1.系统思维，辅助工具。系统思维最常见的表达形式有流程图、思维导向图等。高等数学作为数学学习的高级阶段，本身也是一个有机的整体，它的各个章节或概念之间有深层且密切的联系，使用思维导图可以让这些关系自然彰显。一个最简单的思维导向图是“等价无穷小”什么时候易出错，及出错的原因。

2.系统思维，在于理清脉络，不重不漏。高校教师们常常是根据知识点之间的逻辑顺序进行备课及授课的，在讲课的过程中，知识的树从无到有，从轮廓到细节，逐步细化逐步充实。然而也正因如此，很多学生在学习过程中常会顾此失彼，有的知识掌握不牢固，甚至可能现学现忘。在讲课的过程中，教师要及时了解学生的困惑，帮助学生用精炼的语句准确的表述其困惑，最终抛出问题，以引导学生们思索。我们教育工作者需要激励学生们进一步思考，以建立一个更完善的知识体系，提高学习效率。在我们教育工作者潜移默化的影响下，学生渐渐有能力且有兴趣主动思索，提出问题，乃至可以就某些知识点与教师进行持久深刻的探讨和争论。毫无疑问学习效率高的学生，往往是运用系统思维学习的佼佼者。授人以鱼，不如授人以渔。现代认知心理学家皮亚杰也认为，“教育的宗旨不在于把尽可能多的东西教给学生，取得尽可能大的效果，而在于教学生怎样学习，学习发展自己，以及离校后继续发展。”因此在教学中，除了教会学生基本数学知识外，更重要的是教学生学习方法，同时培养其创新思维能力。

3.系统思维，用于串联章节，引导思维。教师们通过有意识的应用系统思维教学，引导学生积极主动思考，可以帮助学生及时串联章节并作出系统的归纳。以极限为例，我们知道极限是高等数学中微分学乃至积分学中的基础，举足轻重，我们可以引导学生们应用系统思维把所有求极限的方法串联起来。

三、逆推思维及其应用探讨

教师在教学过程中应该善于把握理论阐述与实际应用之间的关系，尽可能让学生们在理解理论的同时，具备解题能力和实际应用能力。而在这过程中，逆推思维有着不可取代的地位。因为不论做什么，总有可能遇到瓶颈，停滞不前。此时可以鼓励学生先换个思路解出结果，然后尝试反向的推理，在曾经难以寸进的地方，找出先前理解上的误区，从而修正错误。这就是逆推思维，它类似于中医学望闻问切里的望，由已经出现的征兆，推断成因。

1.逆推思维，在于执果索因、排错解惑。教师在平时的教学中应鼓励学生们尝试使用多种方法求解同一道题，让他们体会到数学殊途同归的美。各种方法之间优劣互补、相得益彰，就像七色花，风姿绰约，让人移不开眼。数学的琼包就这样在学生的细细思索中静静开放，馥郁芳香。逆推思维在于执果索因，但因果之间的联系也往往不是钓鱼，一鱼饵对应一条钓上的鱼那般简单。实际应用时，常有看似同类，解法各异的题目，如同有些病症看似相同，由于其发病机理不同，用药也当有所区别。思维训练得到加强，解题能力自然会提高，在此基础上，还需教师设计较多的具有启发引导学生思维的练习，促进学生思维方式的形成。为了让学生更好的区分易混淆的知识点，教师可以准备一些代表性的题目，让学生对比训练，使其在比较中学会分析，在比较中学会判断，在比较中掌握方法。

2.逆推思维，用于理清思路。精于逆推思维的人，不仅可以从题目中看到所需的知识点、出题人的意图，还可以举一反三。当学生们精于此道时，便可拨开迷雾，有的放矢，不断的成功能增强学生自信，遇到困难就不会如从前一般轻易放弃，从而构成一个良性循环。科学研究中所需要的韧性便这样逐渐的形成。当学生根据现有知识无法解答问题时，可在矛盾问题可拓模型基础之上找出核心问题，然后实施逆向变换，进而获得逆向策略集，再以逆向变换引起的传导变换的最终效应，去评价逆向策略的优劣性，最后选出满意的策略，去解决最初的矛盾问题。

3.逆推思維，用于推理论证。逆推思维可以用来排除一些错误，也可以用来尝试证明一些结论。用逆推思维来证明某个结论很好理解，至于写推理过程时，就可以不按逆向思维来写，以彰显各个结论间的因果先后关系。证明题考的往往是知识的联系与实际应用。很多同学看到答案，常常会感叹，这题原来这么容易，自己居然没有想出来，而悔恨懊恼。证明题是最有可能多解，也是最有可能用到多章节不同知识的题目。因此，证明题的难度较大，常放在试卷最后几题。

在高等数学教学过程中，还可从其他方面进一步加强学生的逆向思维训练。即，注意阐述定义的逆向使用；注意公式及定理的逆向使用；对问题的常规解法进行反向思考；注意采用反证法等。

四、结论

系统思维和逆推思维只是思维世界的冰山一角，不论我们是尝试解决何种问题，最好能做到大处着眼，小处着手，因时制宜，因事制宜，行于所当行，止于所不可不止。可用且的确大有裨益、省时省力的情况大胆使用这两种思维，此即行于所当行；没有必要乃至有可能阻碍目标达成时能果断放弃，此即止于不可不止。

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