对一道课本规律题的探索归纳和推广

☉广东江门市新会葵城中学 陈家武

对一道课本规律题的探索归纳和推广

☉广东江门市新会葵城中学 陈家武

在当前应试模式下，学习任务繁重，各种题目层出不穷，同样或者同类型的题目多次重复出现的情况更是屡不见鲜，而当学生遇到这些同类型的题目时却丝毫没有察觉，花大量的时间做了大量的练习后解题能力也不见得提高，这便是令人苦恼的题海战术.

在教材中有很多经典的习题，具有广阔的拓展空间，很多题目“形不同而质相同”，抓住图形的结构和题目本质特征进行研究、归纳，可以达到举一反三、触类旁通的效果，不管是对学生解题能力的提高和学习任务的减轻，还是对教师数学专业水平的提升，都有着重要的意义.

本文呈现一道课本习题的探索归纳、拓展过程，供参考.

原题：（人教版2012版教材七年级上册第130页拓广探索第12题）两条直线相交，有一个交点，三条直线，最多有多少个交点？四条直线呢？你能发现什么规律吗？

图1

分析：本题放在拓展探索的最后一题，可见其实难度不一般.题目中画出了两条、三条和四条直线相交交点最多的图像，设置了三小问，由于给出了准确的图形，前两问可以直接数，答案是显然的，对于第三问，需要找出直线相交时直线数量与最多交点数量之间的规律.这个问题对于多数学生而言有以下难点.

1.对题目理解不到位，何时交点最多学生不容易理解，因为三条以上直线相交的情况不止一种，以三条为例，其情况如下：

图2

交点可以是0个、1个、2个或3个，交点最多是最后一种，有3个.

2.学生不容易发现其中规律.

3.学生不懂得将规律用数学语言表达出来.

经过上面的分析，当直线两两相交（没有平行的情况），且没有三条经过同一个交点时，交点数最多.（这里要重点向学生解释，不妨以3条直线为例）

解：为了更容易找出规律，列表填空如下：

表1

为了使思路更加清晰，这里给每条直线标上序号，2条直线相交最多1个交点，3条直线在2条直线的基础上添加1条直线，其交点数比前一种多2个（即直线③分别与直线①、②相交所得的2个交点），共有1+2=3（个）交点，而4条直线是在3条直线的基础上添加1条，其交点数比前一种多3个（即直线④分别与直线①、②、③相交所得的3个交点），共有1+2+3=6（个）交点，依此类推，n条直线是在（n-1）条直线的基础上添加1条，其交点数比前一种多（n-1）个（即直线n 分别与前（n-1）条直线直线相交所得的（n-1）个交点），共有1+2+3+…+（n-1）=（个）交点，至此问题解决.

点评：一般与图形有关的规律题通常图形中的规律是较容易发现的，而本题直接从图上找规律并不容易，如果题目没有画出前两个图形，刚接触几何的学生不一定能准确画出来，题目给出前三个图形，学生可以直接从三种图形的数字中找出规律，大大降低难度.对于规律题，对图形进行加工很重要，这里我用表格的方法，同时在表格中加入序号一行，这种方法对今后规律的探究有很大的帮助.另外本题还用到了连续多个数之和的计算公式（学生知道高斯计算1至100的和用到的方法，实质是等差数列前n项和公式）.

【触类】

题目1：在一条直线上取2个点A、B，共得几条线段？在一条直线上取3个点A、B、C，共得几条线段？在一条直线上取4个点A、B、C、D，共得几条线段？在一条直线上取n个点，共可得多少条线段？

分析：本题可以仿照解上一题的思路方法解决，线段由两个端点确定，即两个端点确定一条线段.

解：同样，为了更容易找出规律列表并分析填空如下：

表2

一条直线上有2个点可以确定1条线段，3个点是在2个点的基础上添加1个点，线段比前一种新增加了2条（即点C分别与点A、B新构成的2条线段），共有1+2= 3（条）线段，4个点是在3个点的基础上添加1个点，线段比前一种新增加了3条（即点D分别与点A、B、C新构成的3条线段），共有1+2+3=6（条）线段，依此类推，n个点是在（n-1）个点的基础上添加1个点，线段比前一种多（n-1）条（即第n个点分别与前（n-1）个点新构成的（n-1）条线段），共有1+2+3+…+（n-1）=（条）线段，问题解决.

点评：本题在方法上跟上一题类似，结果是一样的，相对上一题本题要容易一些，主要是图形简单，但数线段容易数错，小心即可.

题目2：数一数，找规律：

（1）下列各图中，角的射线依次增加，请数一数各图中分别有几个角.

图3

①____1个角②____个角③____个角④____个角

（2）如果一个角内部有8条射线，那么该图中有________个角.如果一个角内部有n条射线，那么该图中有________个角.

分析：首先这里的角是指小于平角的角，抓住角是有两条公共端点的射线构成的，只要两条射线确定，则角就确定了，类比以上的方法解题.

解：列表（如表3）：

表3

点评：本题跟线段一题类似，这里不再赘述.

以上三个问题，是第四章几何图形初步里的三个经典问题，以表格填空的形式，可能学生更容易掌握和接受.

【旁通】

问题设计：2条直线相交最多将平面分成4部分，3条直线相交最多将平面分成几部分？4条直线相交最多将平面分成几部分？n条直线相交最多将平面分成几部分？

图4

分析：仿照以上的方法，可以发现，当直线两两相交，且没有三条直线相交于一点时,分得的部分最多，而跟交点不同的是，直线分平面是每经过平面的一部分都会将该部分一分为二，即每经过1个部分就会增加多1个部分.经过多少部分就会增加多少部分，因此要看每增加1条直线平面多几部分，只要看这条线最多可以经过几部分，这是此题的不同之处，也是本题的最大难点.

解：列表（如表4）：

表4

点评：本题相对多条直线相交交点最多问题，难度要大很多.1.要准确画出图形不容易；2.规律也比前面的要难找；3.计算4+3+4+5+…+n要作处理.另外，本题还可以将题目“完整”化，即在题目前增加“1条直线最多将平面分成2部分”，这样对应的序号和射线数相同（步调一致），其做法基本一样，不同的是题目显得更加完整些，规律也更清晰.

赠人鱼不如授人渔，同样教会学生一道题不如教会一类题.通过研究一些典型题目，归纳总结，发挥好它的示范和辐射作用，往往能收到会一题通一类的效果，学会举一反三、触类旁通，才是我们真正要达到的学习目的.

总之，在平时教学中，教师应加强对课本典型习题的研究，立足基础、力求变化、归纳、延伸，锻炼思维、培养能力，让学生在学会解题的同时，在“异中求同，同中求异”中培养聚合思维和发散思维能力，真正做到“做一题，通一类，会一片，得一法”，让学生从题海中解放出来，做到学习的效益最大化、方法最优化.