变式理论在教学中的自然应用探究

☉江苏苏州市苏州高新区第二中学 张 静

变式理论在教学中的自然应用探究

☉江苏苏州市苏州高新区第二中学 张 静

陕西师范大学罗增儒教授曾经说过：“教师在教学中应当注意相机而诱导，而不仅仅是全盘打算和细节处理.”这里说说的“相机而教”就是适时点拨、延伸、变式.所谓“点拨”，是在学生疑难处入手，给学生以方法上的指导和引领，让学生在这样的启发下去发现问题与解决问题；而“诱导”则是方法上面的指导，这样的指导是有利于学生思路的打开的，使学生从获取知识转化为获取技能；“变式”是学生把数学题去其个性，留其共性，找到解决问题的通法与自然解法.那么在课堂中我们该如何处理，以期达到课堂的优效与实效呢？

一、思路点拨——从疑难处着手

图1

同理可得：B4（12，2），B6（18，2）……

所以，B2016的横坐标为：1008×6=6048，所以，点B2016（6048，2）.

当学生一筹莫展时，教师应该进行思路的点拨与指导，帮助学生确立思路和解决问题的方式和方法，从而有效地突破难点，顺畅解题，只有这样，才能让学生的知识、技能与情感得到锻炼与提升，进而使我们的课堂更有效.

二、变化与聚焦——从图形问题上找突破

原题：在3×3网格中有9个相同的小正方形，每个网格图中有3个小正方形已涂黑，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂黑：选取1个涂黑，使4个黑色的小正方形组成一个不是中心对称图形的轴对称图形.

变化1：选取1个小正方形涂黑，使4个涂黑的小正方形组成的图形不是轴对称图形的中心对称图形；

变化2：选取2个小正方形将它们涂黑，使形成的图形组成一个轴对称图形.

图2

图3

图4

分析：（1）根据轴对称图形的定义作图即可；（2）根据中心对称图形的定义作图即可；（3）根据轴对称图形的定义作图即可.

原题：

图5

变化1：

图6

变化2：

图7

换一种眼光看待数学问题，换一种方式解决数学问题，真正掌握了正确的方法才能明道！教师在教给学生知识的同时，也要教给他们全面读题的方法与视角，以期能有智慧的碰撞，进而获得基本技能与更高层次的能力.同时，在进行变式教学的过程中，如何对问题进行细致的挖掘也是一项很重要的技术活，不断地进行揣摩才能有真正的突破.

三、功到自然成——知识核心处变式

原题：如图8，已知四边形ABCD是梯形，AB=3，BC=4，AD=1，AD∥BC，AB⊥BC.若线段AB上有任意一点P，延长PD到E，使2PD=DE，作平行四边形PCQE，使PE、PC为其两边，那么线段PQ存在最小值吗？如果存在，请求出最小值.

图8

方法解析：

法一：过点Q作QG⊥BC，过点P作PF⊥QG，垂足分别为点G、F，再过点E作ER⊥PA（如图9）.

解：设PA=x，BP=3-x.

由于DE=2PD，易得RE=3，RA=2x.

易证△PRE≌△QGC，则CG=RE=3，PR=EG=3x，则FQ=3x-（3-x）=4x-3.

则当x=0.75时，PQ取得最小值7.

图9

图10

法二：设PQ交DC于点M，过M作MN垂直于AB，过Q作QG垂直于MN（如图10）.

显然，求线段的最小值，我们可以用代数的方法，可以用函数求最值法来求，也可以用几何的方法，用“垂线段最短”，从特殊的位置入手，加以分析与解决.

变式：（2013年中考第18题）已知点A（8，0）、B（0，6）、C（a，-a）与点D是平行四边形的四个顶点，请求出CD的最小值.

显然本题中点C在直线l（第二、四象限角平分线）上运动，而点D随着点C的运动而运动，那么本题也是求两个动点间的最小值，与上题的解法应该有着异曲同工之效.

分析：不妨进行如下的分类讨论来解决这一问题：（1）若这个平行四边形以AB为边，那么CD的值就是一个定值10；（2）若以AB为平行四边形的对角线，CD必过AB的中点E，要求CD的最小值，可以利用二次函数求最值的方法来求解.

解法：如图11，只要表示出点C、D的坐标.由于A（8，0）、B（0，6），则点E的坐标为（4，3）.又点C的坐标为（a，-a），则点D的坐标为（8-a，6+a）.

触类旁通：那么，是否还可以进行其他的方法尝试呢？如图12，建立这样的平面直角坐标系来解决这一问题.

图11

图12

设AP=x，则点P（0，3-x）、C（4，0）.由DE=2PD，易得点E（3，3+2x）.

将上述看似毫无联系的题放在一起，其目的是为了让学生透过数学题的表象，看到两道题的本质，都是求线段最值问题，其常用方法不外乎几何法与函数法，然而建立了坐标系后，本题的难度与处理方法明显简化也好理解了，故通过两题的变式，我们更清楚地找到了解决的通法、特法与自然解法，进一步提高了能力.

裴光亚先生说：比知识更重要的是思想.只有有了思想，才能把知识转化为能力.我们的数学课堂就应当该出手时就出手，从给学生知识到渗透思想，再到培养基本技能，进而挖掘更高层次的能力，努力实现师生在课堂上的最佳表现.