解题教学的追求：关联同类，感悟结构——从一道“网传错误解答”说起

☉江苏海门实验初级中学 季红妹

解题教学的追求：关联同类，感悟结构
——从一道“网传错误解答”说起

☉江苏海门实验初级中学 季红妹

近年来，随着信息技术、网络搜题平台的兴起，智能化手机终端的普及，初中学生使用网络搜题、查答案的现象不在少数，有时会碰到少数学生的解答与网传错误解答“一样”的情况.本文就从一道“网传错误解答”说起，关注一类具有“相同结构”的问题，并跟进思考我们的解题教学应该在哪些问题上多下功夫.

一、由一道“网传错误解答”说起

考题1：（2014年浙江湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴、y轴分别相切于点M和N，点F从点M出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点P作PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0）.

（1）略.

（2）略.

（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE.在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由.

图1

图2

网传错漏解答：某网站上将第（3）题只分了两类情形讨论.

情况1：如图2，当1＜t＜2时：

由题意可得点F的坐标为（1+t，0），根据F和F′关于点M对称，得点F′（1-t，0）.

情况2：如图3，当t＞2时：

图3

图4

类似上面，得F（1+t，0）、F′（1-t，0）.

由经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点

简评：上面的解答有明显错漏，分类的情况缺少“0< t<1”这一区间，显然是不恰当的，笔者检索另一家网站发现补全了该区间的情形，如图4，解答方法类似上面两种情况.

然而，如果认真观察图4就会发现，这是一个典型的错误构图，图形没能满足总题干中“PE⊥PF”的要求，使得该题分析的价值全无，若照此偏差巨大的图形分析图形之间的相似关系，则会影响思路的获取，造成解题受阻或出错.以下我们对其法作出进一步的优化和简化.

二、关联同类问题，引导学生洞察深层结构

回到初一，复习数轴：初一有理数起始教学时，数轴是最早引入的数学工具，然而越简单的数学概念往往越有深度，这是我们理解数学概念时常常有的一种学习体会.比如，数轴上两点及其中点之间的关系，可以用下面的关系式来描述.

考题2：如图5，数轴上，点A、B分别对应a、b.

图5

问题1：设线段AB的中点为M，点M对应的数是m，试用含a、b的式子表示m.

讲解：初一刚刚学习时，我们是引导学生从特殊值出发，归纳出2m=a+b.

问题2：若点C对应着1，当BC=AC时，求4a+4b+2009的值.

讲解：利用问题1中发现的性质，有a+b=2×1，则4a+ 4b+2009的值为4×2+2009=2017.

运用性质，突破考题：我们排除考题中的无关信息，就会发现其实是两组中点的综合运用，如图6、图7，

图6

图7

分别利用上面提到的“2m=a+b”就可求出F′、Q′的坐标，即F′（1-t，0）、Q（1-0.5t，0）.

只要再想清E（0，1-t），就可将△QOE的两条直角边利用含t的式子表示出来，即OQ=|1-0.5t|，OE=|1-t|.△PMF的两条直角边分别是：PM=1，MF=t.

现在只要讨论它们的两种不同对应关系，就能得出方程：

再消去绝对值符号，转化成两个一元二次方程即可获得问题的解答.

可见，这种方法的关键是将G点的坐标利用中点之间的关系演算出来，而无需陷入繁杂的构图.

关联链接：

考题3：如图8，已知A（a，0）、B（0，b）分别为两坐标轴上的点，且a、b满足a2+b2-12a-12b+72=0，OC∶OA=1∶3.

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）若D（1，0），过点D的直线分别交AB、BC于E、F两点，设E、F两点的横坐标分别为xE、xF，当BD平分△BEF的面积时，求xE+xF的值.

图8

图9

讲解：这个考题的难点在于第（2）问构造两垂线段EG、FH之后，不少学生不能顺利突破思路，究其原因，在于忘了上面我们提到的数轴上两点及其中点之间的关系，图9是笔者在讲评时使用的PPT截图，旨在为学生分离出结构，以便让他们快速获得转化.

考题4：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图10，若+bx1=a+bx2，且x1≠x2.求证x1+x2=2.

图10

图11

讲解：这个问题的本质其实是高中阶段关于二次函数y=ax2+bx+c的一个性质，即当f（x1）=f（x2）时，一定有f（x1+x2）=f（0）=c.这里也可与线段中点的性质发生关联，可构造图11向学生解释，比如，直线AB∥x轴，交抛物线于A、B两点，交抛物线的对称轴于C点，根据对称性，易知AC=BC，也就是它们的横坐标之间具有了xA+xB= 2xC的关系.这样来看，就能快速看清上面的求证题的结构，实现证明了.

三、写在最后

解题教学在当前的初中数学教学中占有相当的比重，如何从讲一题，教会一个技巧或一个具体解法步骤，走向讲一题、链接一类、悟出一种结构，这始终是我们解题教学效益提升的重要追求.我们的案例积累还有待丰富，期待同行跟进案例、指点研讨.

1.王秀梅.习题课教学：从“拿来主义”走向编题变式——以“数轴再认识”习题课为例［J］.中学数学（下），2016（10）.

2.付小飞.明辨并列与递进，引导分离和聚焦——2016年江苏苏州中考第28题解析与教学思考［J］.中学数学（下），2016（7）.

3.陈爱军.预设互动促进对话，课件简约渐次展现——李庾南老师“函数的图像”课例赏析［J］.中学数学（下），2016（10）.

4.鲍建生，顾冷沅等.变式教学研究［J］.数学教学，2003（1、2、3）.