“借形解数”：进一步发展学生的几何直观能力

蒋碧云

几何直观在整个数学学习过程中发挥着非常重要的作用。它不但可以帮助学生理解和解决几何问题，而且可以用来描述和分析数与代数的问题，使数与代数中一些抽象的问题直观化，达到化繁为简的目的。数学家徐利治教授认为：几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系，产生对数量关系的直接感知。教材中有许多数与代数的知识点，可以借助几何直观，让学生从全新的角度重建相应的认知结构，展开一系列具有想象力和创造力的探索活动，意义非凡。现以“解决问题的策略——转化”为例，谈谈如何“借形解数”：进一步发展学生的几何直观能力。

一、将数转译成形，丰富直观感知

几何直观是一种运用图形认识事物的能力，或者说是一种解决数学问题的思维方法。也就是通过几何直观的感知能够建立起人对自身体验与外物体验的对应关系。在数学教学中，教师可以将数转译成形，丰富直观感知。“解决问题的策略——转化”的例题是一道特殊的分数连加，学生尝试计算时都会采用先通分再相加的方法，如何才能使学生想到把复杂的加法算式转化成简单的减法来计算，是本题的教学重点和难点。教师可以利用此类题目的特点，先让学生从观察算式入手，发现算式的特殊性，再出示更复杂的算式让学生产生探索简单方法的需要，最后引导学生将数学知识的言语表征转化成表象表征。在这里将数转译成图形是解题的关键，教师要巧妙地让学生把图形和算式联系起来想一想，结合图形多角度探究简单的计算方法。

出示例题：+++。

师：请同学们观察算式，你有什么发现？

发现1：4个分数连加，每个分数的分子都是1；

发现2：分母是有规律排列的，依次是2、2×2、2×2×2、2×2×2×2；

发现3：合起来看，是的一半，是的一半，是的一半；

……

小结：像这样从起，依次加上前一个分数的一半的连加算式，你会计算吗？

学生几乎异口同声：先通分再计算。

师：同学们，学得不错。你们其实已经用上了一种解决问题的策略。把异分母分数加法转化成了同分母分数加法，也就是先通分再相加。如果按加数的排列规律，再加上3个分数，你们准备怎么计算？

出示：++++++。

生：先通分再相加。

师：还是先通分再计算，那如果一直加到呢？还打算先通分再计算吗？

生：不愿意。

师：为什么不愿意？

生：太麻烦了！老师是否有简便的算法呢？

师：既然是分数连加，同学们还记得学习分数时可以怎样得到吗？

生：可以把正方形看作单位“1”，平均分成2份，涂色部分就占正方形的。（师根据学生的回答依次出示直观图）

再分别表示出、、，接着运用动画效果叠加在一起。（如上图）

师：图中哪部分表示这些分数的和？

生：所有涂色部分表示这些分数的和。

师：把算式和图形联系起来想一想，这个加法算式能转化成哪个算式来计算？

生：可以用正方形面积减去空白部分的面积，即+++=1-。

师：那“1”是指什么？“”又是指什么？

生：“1”是指整个正方形面积，“”是指空白部分的面积。从图中我们可以看出，要求这些分数的和，还可以用单位“1”减去空白部分，也就是用1-来计算。

二、唤醒已有认知，加强直观推理

直观推理作为一种渗透力极强的思维形式，可以说是数学直观的精髓。教师要为学生创造主动思考的机会，鼓励学生借助直观进行分析、想象和推理，充分发挥直观推理在发现问题、分析问题过程中的作用，这是一种行之有效的发展学生思维的方法。就学生来说，如果没有转化意识，一般不会主动考虑把问题由繁向简、由难向易地转化；如果有转化的愿望，但找不到转化的具体方向，仍然不会运用转化策略。

如，教学练一练2：连续自然数相加。教师先出示一个梯形图帮助学生理解转化方法，利用这幅图创设积极有趣的探究氛围，唤醒学生已有的认知，利用直观进行推理，从而了解为什么可以这样转化。

出示梯形图，让学生说信息。

师：请根据梯形图说说你知道的信息。

生：第一层装了6支，第二层装了7支，第三层装了8支，依此類推，共装了10层，笔架里一共有多少支铅笔？

师：用加法计算怎样列式？

生：6+7+8+9+10+11+12+13+14+15。

师：这个加法算式有什么特点？

生：连续自然数相加。

师：是的，每两个数之间相差1，这样的加法我们称它为连续自然数相加。

师：把梯形图和算式联系起来想一想，这个算式可以转化成哪个算式来计算。

生：（6+15）×10÷2。

师：你根据什么想到的？

生：梯形的面积计算公式。

师：那我们就来回忆一下梯形的面积计算公式是怎样推导的？

生：再来一个完全一样的梯形笔架，两个梯形笔架拼成了一个平行四边形笔架。（如下图）

师：现在你会借助这幅图，解释一下为什么可以这样转化吗？

生：每层有21支铅笔，共有这样的10层，共有21×10=210（支），要求其中一个梯形笔架的铅笔支数，再除以2就好了。

师归纳：你的推理能力真强，借助图这个好帮手把连续自然数相加转化成了相同数相加就可以用乘法来计算，转化后的算式口算就可得出答案。

反思这道题的解答过程，我们可以提出：在帮助学生巩固面积推导过程的同时，也鼓励了学生借助直观进行观察、比较、分析和归纳，展开了有效的直观推理，拓展了转化意识。把连续自然数相加转化成了相同数相加，非常简便。让学生明确数学对象的结构和关系，获得正确的数学结论。

三、借助几何图形，探索数学规律

数学课程标准指出：要有目的、有计划地教给学生利用图形描述和分析数学问题的方法，鼓励学生在解决问题的过程中主动运用画图的策略，帮助学生不断积累借助图形直观分析和解决问题的经验。实践证明，借助几何直观，可以促使学生更有成效地展开数学思考，发现并归纳一些简单的数学规律，使思维逐步转向更高级、更抽象的层面。教师应巧妙地引导学生根据算式自主发现有用的图形，借助自己发现的图形，展开一系列有价值的思考，从而探索出数学规律。

如，练习题：1+3+5+7+9+11和1+3+5+7+9+11+13+15+

17+19。

学生尝试练习，大多数学生都会这样转化：1+3+5+7+9+11=（1+11）×5÷2，1+3+5+7+9+11+13+15+

17+19=（1+19）×10÷2，此時老师可根据题目的特征进行启发，是否还有更简单的转化方法，还要借助谁？学生自然想到了借助图，于是一个自主摆图，针对性强的探索活动开始了。

师：图在你们手上呢，请拿出那叠小正方形。先摆出1，再用蓝色和橙色正方形纸摆出1+3，要求是：边摆边思考，根据摆出的图形是否能把1+3转化成别的算式呢？一般出现两种摆法。

师：出现了2种方法，请同学们观察，哪种摆法能找到转化的灵感？

生：第2种。

师：你是怎么发现的？这两种摆法分别可以怎么计算小正方形的总个数？

生：因为根据第2种摆出的正方形可以把“1+3”转化成“2×2”，第1种摆出的图形还是只能用“1+3”计算小正方形的总个数。

师：真了不起！接下来就要借助你们的图形诞生新的转化方法了！

小组合作完成。

摆一摆：请用小正方形摆出1+3+5的图，并结合图思考：1+3+5转化？

想一想：试着想象小正方形摆出1+3+5+7的图，并思考：1+3+5+7转化？

议一议：从1开始的几个连续奇数相加转化？

汇报归纳：现在我们可以说从1开始的几个连续奇数相加还可以转化为：个数×个数。

四、利用直观表征，激发创新意识

利用直观图形表征数学问题，能加强学生对问题情境信息及其关系的理解，能够帮助学生从整体上把握问题，探究正确的解题思路，激发学生的创新意识。在解题过程中，学生借助示意图或线段图来表征问题情境的成分和结构，以达到对数学问题结构性的理解，为学生提供一些未经解释或形式转换就可被察觉的有用信息，促进问题的解决。

如，练习十六中的第6题，可让学生自主用直观来表征本题的信息，达到理解单场淘汰制的目的，重点在于引导学生进一步思考更加简便的计算方法。

出示练习：有8支足球队参加比赛，比赛以单场淘汰制（即每场比赛淘汰一支球队）进行。一共要进行多少场比赛才能产生冠军？

师：什么叫单场淘汰制？你能用自己方式表示吗？

全班的表示方法大致有两种。（如下图）

生解释左图：两支球队，胜出一支，逐个比赛（师相应出示）。

生解释右图：我也可以仿照例1的画图法，最后产生一个冠军。

师：胜出4支，那淘汰了几支队伍？你能依此类推，求出总场数吗？

生：4+2+1=7（场）。

师：这两幅图帮助我们理解题意求出答案，观察图，你还想到其他的做法吗？

生：8-1=7（场）。

师：说说你的理由。

生：根据图，我们可以换个角度思考，把要求的问题“一共要进行多少场比赛才能产生冠军？”转化成求“一共要淘汰多少支球队才能产生冠军？一共8支球队，只产生一个冠军，应淘汰7支球队。算式是8-1=7（场），所以一共要进行7场比赛才能产生冠军”。

这样一个具有较强现实性和趣味性的问题，不仅能使学生从全新的角度体验画图策略的作用，进一步明确几何直观的优势，更有利于启发学生学会用数学的眼光观察和分析生活现象，在解决问题的过程中激发学生的创新意识。

本节课的教学内容都是针对具体问题寻找合适的转化方法，关键都在于能否准确判断向何处转化以及怎样实现这一转化。这个关键就需借助几何直观来突破，学生在活动中多次体会到几何直观带来的好处，通过自主探究和合作交流，发现和再创造了数学知识，获得了对数学的深刻理解，更让我们看到了学生头脑里的“数学现实”和“数学理解”。正如波利亚所说：“图形不仅是几何题目的对象，而且对几何一开始没什么关系的题目，图形也是一种重要的帮手。”