巧妙联结图形发展数学思维

王琴芳

在数学教学中，既要分析数的意义，又要揭示几何直观，使数量的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐结合在一起，充分利用这种结合寻找解题思路，使问题化难为易，化繁为简。数形结合思想是一种重要的数学思想。它是通过数与形的相互转化、相辅相成来解决数学问题的一种思想方法。它既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。合理地利用图、形，不仅符合小学生的直观形象思维占主导的现实基础，而且能起到事半功倍的效果。

一、借助主题图，因势利导，清晰算理

例题是课堂教学的重要资源，教材的主题图更是占据数学教学的突出地位。它在教学中起的作用不仅仅是引出算式，而要精心使用，让它发挥充分的作用，使教学得以順利展开。

如，教学“两位数乘整十数的口算”时，出示了一幅情境图。很多老师都有这样的失败经历，学生列出算式后，只能想出“12×1=12，再在12末尾添加一个0”的方法，而且对于这种方法的算理也一知半解。尽管不少老师不断地启发：“还有别的方法吗？”可始终没有回应，最后老师只得自己自说自话，显得十分被动。

反过来审视这幅主题图，如果仅仅是引出12×10这样一个算式，那完全只需要出示上面的文字即可，下面的图到底有何用处呢？细细看来，书中的几种方法介绍无疑都可以从图上来产生。于是，成功的案例产生了。

师：同学们观察一下主题图（用手指向李叔叔手中的一箱和堆着的9箱），你想到了什么方法？

生1：我想到了，可以先算12×9=108，再算108+12=120。

师：你是怎么想到的？

生1：你看呀，我先算的是已经堆在那里的9盒，再加上李叔叔手里的一盒，正好就是10盒了。

师：这位同学能借助图来思考，把10盒看成了9盒加1盒，真不错！

生2：我还有办法。先算12×5=60，再算60×2=120。也就是先算右边的5盒，左边和右边一样，就再乘2。

学生听了，纷纷点头表示同意。

生3：还有，还有，我先把每盒看成10个，那么就是10个10是100，再想每盒还多出2个，就用2×10=20，然后把100+20=120。

……

小学生的思维还是以直观形象思维为主，尤其是第一学段的学生。上述案例如果仅仅让学生回想学过的计算来转化新问题，难度很大。教师应充分利用教材直观图的资源——用图形、符号来体现题中的信息、关系，把主要成分全面而直观地展示出来，就能让学生顺利地由“图”想“式”，理解算理，掌握算法，发展形象思维。

二、借助原始图，由形及数，自主建构

数学概念是知识教学中的重要组成部分。但它的抽象性、枯燥性使得教学效果不尽如人意。借助直观的图形可以将概念教学具体化、形象化，从而激发学生学习的内驱，让学生在轻松的氛围中理解概念的形成过程。

案例A：以笔者听的“倍数与因数”一课为例。

1.教师先让学生用12个同样大小的正方形拼成一个长方形，填入下表：

2.教师示范说12是4的倍数，12也是3的倍数，3和4都是12的因数。

……

当出现“你能找出36的所有因数吗？”这个问题时，学生往往显得无所适从。班内能按照一定方法写的学生寥寥无几，任凭教师等待与点拨，也只有班内几名优秀学生举手发言，还未答到点子上。

为什么课堂在此时就变得沉闷，很不通畅？究其原因，学生对倍数和因数概念一直停留于乘法算式上，对倍数和因数的获取缺乏必要的依托。教师把12个同样大的正方形拼成一个长方形仅仅作为了倍数、因数的引子。其实教师可以依托于摆长方形的过程来进行教学。

1.先引导观察12的因数有1，12，2，6，3，4。问：想一想12的因数还有其他的吗？

师：通过摆小正方形的过程就可以找到12的因数，那么36的因数可以怎么想？

2.引导学生也想象摆小正方形的过程。

因为在追问的过程中渗透了求36的因数的方法，当我问：求36的因数只要怎么想？学生就会说：只要想（ ）×（ ）=36或36÷（ ）=（ ）。

以上环节中，通过用36个小正方形摆1、2、3、4、6排的过程，以图形来帮助学生建立形象的数学模型，从而加深学生对求一个数的因数的理解。借助形的直观具体，使比较抽象的概念转化为清晰、生动的事物，学生接受自然，方法习得水到渠成。教学实践证明：在教学中运用数形结合，把抽象的数学概念直观化，找到了概念的本质特征，激发了学习数学的兴趣，增强了求新、求异意识，发展了有序思维。

三、借助线段图，推陈出新，拓宽思路

线段图是采用数形结合的方式表示事物之间的数量关系，它可以使抽象问题具体化、复杂关系明朗化，为正确解题创造条件。将抽象的数学语言与直观的图形联系起来，使抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，揭示“数”与“形”之间的内在联系，是实现抽象概念和具体形象、表象之间的转化，发展学生思维的有效途径。

如，解决复杂实际问题：张老师要买一台打印机，王老师要买一件毛衣。打印机：800元/台。毛衣：200元/件。商场促销活动，如果购买500元以上的商品就把超出500元的部分打八折。问：两位老师合买比分买可以省多少钱？

方法一：多数同学的解题方法：

分开购买所花的钱数：（800-500）×80%+500+200=940（元）；

合着购买所花的钱数：（800+200-500）×80%+500=900（元）；

合买比分买所省钱数：940-900=40（元）。

方法二：一名学生的解题方法：

200×（1-80%）=40（元）

当时很多同学不理解第二种算法，于是教师请这名学生进一步解释。

生：合买与分开买别的地方都没有变，区别只是少花了一个200元的（1-80%），所以可以直接用200×（1-80%）=40（元）来进行计算。

这名学生解释完后，大多数学生仍然很茫然，没有理解方法二的道理。

于是引入线段图对比呈现两种方法所蕴含的数量关系。

通过线段图，将复杂的数量关系变得简单明了，将抽象的数学问题直观化，变“看不见”为“看得见”，学生清晰直观地看到合买与分买的区别，从图中直观地看出真正省的其实就是200元的20%是40元。

美国著名数学家斯蒂恩说过：“如果一个特定的问题可以转化为一个图形，那么，思想就整体把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法。”上述案例，借助画图，动态地展示了如何将问题“转化”成图像的过程，通过想象把抽象的文字符号形象化、具体化，理解了数量关系；线段图的介入，使得数形结合启发学生展开发散思维，产生出奇特的思路，发展创新思维。

四、借助平面图，究其错因，辨析算理

在小學数学内容中，有相当部分的内容是计算问题，但在教学中很多老师忽视了引导学生理解算理，尤其在课改之后，老师们注重了算法多样化，忽视了算理的理解。在教学时，教师应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓“知其然、知其所以然”。根据教学内容的不同，引导学生理解算理的策略也是不同的，数形结合是帮助学生清晰算理的一种良好方式。

如，计算25.3×4.2，出现这样的算法：

25.3×4.2

=25×4+0.3×0.2

=100+0.06=100.06

一般教师都会强调：A.有些同学可能误以为是加法了，乘法与加法是不一样。

25.3+4.2

=（25+4）+（0.3+0.2）

=29+0.5

=29.5

B.可以用竖式验算：

2 5 . 3

× 4 . 2

5 0 6

1 0 1 2

1 0 6 . 2 6

这样的教学只能让学生知道不能这样做，而不知道为什么不能这样做。如何合理地利用错误，转化成资源呢？不妨联系长方形面积计算来想：

25 0.3

师：想一想：25.3×4.2算的是哪个长方形的面积，而上面同学的拆分算的又是哪几部分的面积，错在哪里？应该怎么纠正？

生1：我们要算的是整个大长方形的面积，而上面同学算的只是两块阴影部分长方形面积，少算了两个白长方形的面积。

生2：如果要改，还要再加上0.3×4和0.2×25才行。

上述案例，借助长方形面积计算的平面图，让学生清晰地发现初始计算有错，直观地感受到算理的错因，减少了教师反复强调计算方法的时间，让学生在理解算理的基础上掌握算法。数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形联系起来，使抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，揭示“数”和“形”之间的内在联系，实现抽象概念和具体形象、表象之间的转化，发展学生的思维。

“数”与“形”是同一事物两种不同的表示方法，“数”是“形”的高度抽象，“形”是“数”的具体体现。学会有效利用数、图、形、式结合的方式，可把抽象的数学概念直观化，让抽象的数量关系、解题思路形象地外显，易于学生理解；可以让数量关系与图形的性质很好地进行转化，使解题思路和过程具体化，更好地展现知识的建构过程；可将复杂的问题简单化，在解决问题的过程中，提升学生的思维能力和数学素养。