《正弦函数和余弦函数的图象》教学设计

邢晓燕

创新整合点

适当选用信息技术，突出重点，突破难点：

①课上播放Flash动画“绳子抖动”和视频“简谐运动”，将教学内容以实例展开，使学生对正弦曲线和余弦曲线有一个直观的印象，体会数学在生活中的应用。

②a.演示自制PPT课件，帮助学生理解利用正弦线画y=sinx，x∈[0，2π]的图象的方法，使问题变得直观，易于突破难点；b.演示几何画板课件，呈现随着等分点的增加，出现的变化情况；c.演示平移任意角正弦线所得图象。通过a、b、c三步演示，结合设计问题，在探究过程中，提高学生对研究过程的参与程度，突破学习难点。

③演示PPT课件，呈现由正弦曲线得到余弦曲线的过程，引导学生体会图象变换方法；呈现正弦曲线和余弦曲线的异同，进一步明确图象的特点；帮助学生寻找确定图象的关键点，为“五点法”作图做好铺垫。

④利用几何画板的动态演示功能，对例题的教学进行变式与深化。使用信息技術有效地突出重点，突破难点。

教材分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学4（必修）》（人教A版）第一章第四节第一课时的内容。正弦函数、余弦函数图象的学习，为正弦函数和余弦函数的性质、正切函数的图象与性质、函数图象的研究做准备，是《三角函数》一章的重要内容，是高考的重点考查内容。

学情分析

从学生知识看，在《数学（必修1）》中，学生已经学习了指数函数、对数函数和幂函数等，熟悉研究函数的基本思路，学生清楚研究函数性质必须借助函数图象，对本节内容的学习非常重视。学生在学习了三角函数定义、诱导公式和三角函数线的基础上，在以往研究函数图象经验的指导下，可以实现对正弦函数和余弦函数的图象特征进行探究。

从学生现有的学习能力看，通过以往对函数的认识与理解，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，初步具备了抽象、概括的能力。通过教师启发式引导，学生能完成本节课的学习。

教学目标

知识与技能目标：借助单位圆中的正弦线画函数y=sinx，x∈[0，2π]图象；会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图，能利用图象解决一些简单问题；逐步把握正弦函数、余弦函数图象的形状特征，明确图象间关系。

过程与方法目标：通过正弦函数、余弦函数图象的获得，经历直观感知、观察发现、归纳类比等思维过程，在这一过程中，培养数形结合思想、由特殊到一般思想。

情感态度与价值观目标：在探索与互动交流的过程中，在主动参与学习的过程中，获得良好的学习体验和情感体验。

教学环境与准备

PPT课件、几何画板课件、Flash动画、电子白板。

教学过程

环节1：创设情境

通过播放Flash动画“绳子抖动”（如下页图1）和视频“简谐运动”（如下页图2），使学生对正弦函数和余弦函数的图象有直观印象，揭示课题，给出正弦函数、余弦函数定义：①函数y=sinx叫正弦函数，定义域为R；②函数y=cosx叫余弦函数，定义域为R。

设计意图：利用信息技术创设情境，将教学内容以实例展开，使学生了解知识产生的背景，同时体会到数学来源于生活。

环节2：图象画法

师：我们研究函数的基本思路是什么？

教师启发学生思考，归纳定义，画出图象，观察图象，总结性质，继而进行性质的应用。

设计意图：引导学生使用研究函数的基本思路来研究三角函数。

（1）代数描点法作图

问题1：用代数描点法作函数图象的步骤是什么？如何用代数描点法作图？

学生列表、描点、连线（如图3），并发现点、的纵坐标可由三角函数值表查出，但数值不够精确，导致描点后所画图象误差大，考虑几何方法。

设计意图：引导学生，使其发现使用代数描点法画图，误差较大，从而引出几何描点法的必要性。

（2）几何描点法作图

问题2：如何用几何方法在直角坐标系中作出点？

教师引导学生采用平移正弦线的方法（如图4），在坐标系中描点 ，再验证为正弦函数y=sinx图象上的点。

设计意图：在引导学生分析正弦函数图象上的点（x，y）与单位圆中的圆心角x及其对应的正弦线y之间关系的基础上，利用单位圆中的正弦线，描出正弦函数图象上的一个点C，为用几何描点法作出y=sinx，x∈[0，2π]的图象做准备，为攻克难点做准备。

问题3：如何用几何描点法画出y=sinx，x∈[0，2π]的图象？

学生知道需要描出更多点，教师用自制PPT课件演示作图过程。学生用几何描点法作出y=sinx，x∈[0，2π]的图象（如图5），步骤如下：

第一步：在x轴上取点O1，以O1 为圆心作单位圆交x轴于点A，以A为起点将单位圆12等分；

第二步：在x轴非负半轴上，以O为起点取长度为2π的线段，将线段12等分，每个等分点对应刚才的一个角；

第三步：单位圆中作出角的终边，作出相应正弦线；

第四步：平移正弦线，使起点与x轴上的点重合，得到13条正弦线的13个终点；

第五步：用光滑的曲线把上述正弦线的终点连接起来，得y=sinx，x∈[0，2π]的图象。

教师演示自制PPT课件，呈现用平移正弦线的方法作出函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象过程，在演示过程中，设计问题，引导学生参与分析过程，攻克难点。

设计意图：通过演示课件（将单位圆12等分），呈现用平移正弦线的方法绘制函数y=sinx，x∈[0，2π]图象的过程，通过设计问题，学生口答，提高学生对研究过程的参与程度，更为有效地攻克教学难点。

接着，教师演示几何画板课件，学生观察随着等分点的增加，出现的变化情况。

问题4：刚才是把单位圆12等分，下面看看增加等分数，会有什么变化？

学生观察几何画板课件（如上页图6、图7、图8）发现：随着等分数（n=16、35、100）的增加，点越来越密集，精确度越来越高，越接近曲线形状。

师：我们已经将单位圆100等分，点非常密集，接近曲线形状，所描的点都是具体的点，那么，对于任意角平移正弦线，会怎样呢？

教师演示几何画板课件（如图9、图10），呈现平移任意角正弦线的结果。

设计意图：利用正弦线画y=sinx，x∈[0，2π]的图象，是本节课的难点之一，教师通过演示PPT课件和几何画板课件，结合设计问题，引导学生思考，提高学生对探究过程的参与程度，有效地攻克教学难点。

问题5：怎样才能得到y=sinx， x∈R的图象？

学生思考，并回答：因为终边相同角的同一三角函数值相等，即sin（x+k·2π）=sinx，k∈z，也就是给x加上2π的整数倍所得正弦值与原来一样，所以y=sinx，x[2kπ，2（k+1）π]，k∈Z且k≠0的图象与函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象的形状完全相同，只是位置不同。于是，只要将函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象向左、右平移（每次2π個单位长度），就可以得到正弦函数y=sinx，x∈R的图象。

设计意图：通过问题形式，引发学生思考如何由y=sinx，x∈[0，2π]的图象得到y=sinx，x∈R的图象，教师对学生的猜想追问依据，对学生的回答进行补充，可以从正弦线“周而复始”的变化规律解释，也可以从诱导公式解释，继而利用PPT课件演示平移的过程，对猜想予以验证。

（3）图象变换法作图

问题6：如何借助正弦函数图象作出余弦函数的图象？

学生思考，并口答：由于y=cosx=sin（+x），而y=sin（+x），x∈R的图象可以由正弦函数y=sinx，x∈R的图象向左平移个单位长度得到，因此只需将函数y=sinx，x∈R的图象向左平移个单位长度就可以得到函数y=cosx，x∈R的图象。余弦函数y=cosx，x∈R的图象，也叫余弦曲线（如图11）。

设计意图：通过问题形式引发学生思考，使学生从函数解析式之间的关系思考函数图象之间的关系，继而使用PPT课件演示平移的过程，使学生明确应用图象变换作出y=cosx，x∈R的图象的方法。

问题7：正弦曲线和余弦曲线有何异同？如何区分？

学生思考，并回答：正弦曲线和余弦曲线形状相同，位置不同（如上页图12），当x=0时，sinx=0，cosx=1。

设计意图：通过问题形式引发学生思考正余弦曲线的异同，为正余弦函数的性质的学习做准备。采用学生判断之后教师操作验证的方式，利用PPT课件直观呈现，通过对比，帮助学生认识正弦函数、余弦函数图象的形状特征，区分图象间关系。

（4）“五点法”作图

问题8：你有什么办法，可以很快画出正弦函数在整个定义域上的图象？

学生思考后得到认知：先很快画出y=sinx，x∈[0，2π]图象，再平移即可。对于画出y=sinx，x∈[0，2π]的图象，代数描点法误差大，几何描点法精确但步骤繁琐，要寻求新的方法。

师生共同探讨后得出结论：找出体现图象形状特征的关键点，用平滑曲线连接，取点原则是保持图象形状，不改变性质。这些关键点是图象的最高点、最低点和与x轴的交点，坐标分别是（0，0）、（，1）、（π，0）、（，-1）、（2π，0）（如上页图13）。

设计意图：引出五点法画图的必要性，明确y=sinx，x∈[0，2π]与y=sinx，x∈R图象间的关系。利用PPT的动画功能，凸显“五点”，使学生进一步明确图象特征，为“五点法”作正余弦曲线做准备。

师：只要描出这五个点，y=sinx，x∈[0，2π]图象的形状就基本确定了，以后先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，就能得到函数的简图，这种作图的方法称为“五点法”作图。当精确度要求不太高时，常采用五点法。下面，请画出y=sinx，x∈[0，2π]的图象。

学生利用五点作图法为大家演示作图（如图14），完成后阐述作图体会及作图的注意事项，其他同学补充（或对出现的错误进行纠正），教师对其总结。

设计意图：培养学生动手操作能力，明确作图的注意事项。

问题9：你能类比刚才的作法，作出y=cosx，x∈[0，2π]的图象吗？

学生观察图象，得出五个关键点是（0，1）、（，0）、（π，-1）、（，0）、（2π，1）。

师：请画出y=cosx，x∈[0，2π]的图象。

学生动手作图（如图15），教师总结。

设计意图：类比正弦函数，学会用“五点法”作y=cosx，x∈[0，2π]的简图，巩固“五点法”作简图的方法，培养学生动手实践能力。

环节3：效果检测

教师出示例题1：画出函数y=1+sinx，x∈[0，2π]的图象；学生作图。

教师引导学生反思研究函数y=1+sinx，x∈[0，2π]与y=sinx，x∈[0，2π]的图象之间有何联系，将定义域扩充为R呢？

教师利用几何画板动画验证学生的猜想，并总结：函数y=1+sinx，x∈[0，2π]的图象可由函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象向上平移1个单位得到；定义域扩充为R后道理相同。教师进一步深化：y=k+sinx。

设计意图：例题1采用了学生动手作图、反思研究、总结、深化四个环节，使学生在主动参与学习的过程中，通过作图巩固“五点法”，通过反思研究复习图象变换，通过变式培养思维的广度与深度。在学生作图后，利用几何画板动画演示功能，对学生的猜想进行验证，并对例题的教学进行深化。

环节4：课堂小结

师：请同学们回顾今天这节课，你们有哪些收获？

学生从知识、能力、思想方法、情感等方面互相交流本节课的收获。

①知识方面：四种图象作法中，代数描点法作图误差大，几何描点法作图精确但步骤繁琐，“五点法”作图重点掌握；初步掌握了正弦函数、余弦函数图象的形状特征，清楚图象间关系。

②思想方法上：体会到数形结合思想、抽象到具体思想、类比思想在解决问题中的应用。

设计意图：通过反思学习过程，在学生们的思考、交流中完成本节课的小结，突出概念与方法。

环节5：课后作业

通过作业，巩固“五点法”作图的方法。

教学反思

问题是数学的心脏，本节课以9个问题为主线贯穿始终，以问题解决为教学线索，在教师的主导与计算机的辅助下，使学生思维由问题开始，由问题深化，学生积极思考，主动回答。

“几何描点法作图”学习对学生来讲是有困难的，设计问题3、4，引发学生思考。先设计问题3，引导学生思考，“利用单位圆中正弦线的知识描点C（，sin）”，为难点的攻克做好铺垫，再设计问题4，利用课件逐步演示，并结合适时的提问使学生参与其中，逐步攻克难点。教学中使学生了解“几何描点法作图”的学习是必要的：我们借助正弦线作出了比较精确的正弦函数图象，有了图象才能观察出某些点是“关键点”，才有“五点法”作图。

正弦函数和余弦函数的图象特征是本节课学习的重点，正弦函数和余弦函数图象间关系是难点，为此，设计了问题6、7，结合学生的思维发展变化不断追问，使学生充分熟悉图象特征并明确图象之间的关系。

“五点法”作图是重点，通过问题8、9，探究“五点法”作图。启发学生“找出体现图象形状特征的关键点”，学生容易找出“五点”，但不明白为什么是这“五点”，通过追问，使学生明确理由。同时，使学生认识到“五点法”作图是必要、方便、有效的（当精度要求不高时）。为使学生掌握“五点法”作图，安排作图1、2使学生初步练习，例题1起到熟悉、巩固作用。