基于问题驱动的“直线与圆的位置关系”教学设计与启示

朱广科

摘 要：基于问题引领下的数学教学是指学生在问题驱动下开展的数学学习活动，是能最大限度地开发智力的一种相对稳定的教学策略.在《直线和圆的位置关系》教学中，知识与问题相结合，分层设置问题链，层层推进，这样的教学既建立了知识间的相互联系，又能有效促进学生善思好问、质疑反思等良好数学习惯的养成，丰富课堂内容.

关键词：问题驱动；直线与圆；创新课堂

问题驱动策略是指学生在问题驱动下开展数学学习活动，并借助他人的帮助和自身的努力，利用必要的学习资源，通过自主、合作、探究学习获得知识的建构和能力提高，高效率地掌握双基，最大限度地开发智力的一种相对稳定的教学策略.问题驱动策略要立足于师生发展的需要，其实施者可以是学习共同体中的任何成员，即师生、生生之间可以通过问题来相互驱动，其中的问题可以是预设的，也可以是动态生成的，最终目的是培养学生自我内驱动力的增强，提高元认知能力，实现由“他驱动”向“自驱动”的转化.

一、内容和内容解析

《直线与圆的位置关系》是初中数学中的重要教学内容之一，在现实生活与生产实际中也有非常广泛的应用.一方面，直线与圆的位置关系是在学生学习了点与圆的位置关系以后学习的又一种图形与图形之间的位置关系，它是对点与圆的位置关系的巩固与深化；另一方面，直线与圆的位置关系又是后面学习圆与圆的位置關系的基础，在其研究过程中涉及归纳、类比以及数形结合等诸多重要数学思想方法，这些方法对圆与圆位置关系的研究也具有很好的启发与类比作用；同时，本节课的学习还可以为高中解析几何中进一步运用解析法研究直线与圆的位置关系提供直观基础，可以说本节内容的学习起了承上启下的作用.另外，直线与圆的位置关系在其他学科以及我们的现实生活和生产实际中也具有十分广泛的应用.可见，学好直线与圆的位置关系，不仅对本学科的学习具有十分重要的作用，而且对学习其他学科以及今后从事生产劳动都具有非常重要的指导作用.因此，在深入分析教材的基础上对本节课进行科学合理的设计，不仅有助于提高本节课的教学效率，而且对后续内容的学习也具有非常深远的影响.

二、目标和目标解析

（一）教学目标

1.知道直线与圆的三种位置关系，能根据公共点的个数及“数量关系”判断直线和圆的位置关系，会运用切线的性质解决简单的数学问题.

2.通过类比点和圆的位置关系的探索方法探究直线和圆的位置关系，从中感受类比及转化的思想方法.

3.在操作、类比、归纳、交流等数学活动中，体会学习数学的乐趣，逐步培养学好数学的自信心；在感受直线与圆的相对运动过程中，逐步培养运动变化的辩证唯物主义观点.

（二）目标解析

本节课的主要知识点包括直线与圆的三种位置关系及相关概念、这三种位置关系的性质定理和判定定理等，因此知识与技能目标主要有掌握直线和圆位置关系的内涵（定义）与外延——相交、相切、相离，并根据定义来判断直线和圆的位置关系，学会根据直线和圆相切的定义画出已知圆的切线；根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系，判断直线和圆的位置关系等.

直线与圆的位置关系的研究主要采取与上一节点与圆的位置关系进行类比的方法来进行，相交、相切、相离这三个概念的本质属性的探索需要用到归纳思想方法，而这三种位置关系的性质定理和判定定理的探索发现又要从“形”与“数”两方面来进行，因此确定本节课的过程与方法目标为经历类比点和圆的位置关系的研究过程，从“形”与“数”两方面来探究直线和圆的位置关系，并从中感受归纳、类比及数形结合的思想方法.

本节课中涉及观察、操作、自主探索、合作交流等诸多学习方法，这些方法不仅容易操作，而且贴近学生的年龄特点，有利于激发学生探索发现的积极性.因此，本节课的情感态度价值观目标确定为在经历操作、类比、归纳、交流等数学活动中，体会学习数学的乐趣，逐步培养学好数学的自信心；在感受直线与圆的相对运动过程中，逐步培养运动变化的辩证唯物主义观点.

直线和圆的三种位置关系从“形”的方面来看，主要是看它与圆的交点个数，由于其比较直观，这对学生来说，并没有多大困难，而且容易激发学生的探究兴趣，因此应将其作为本节课的教学重点；直线和圆的三种位置关系从“数”的方面来看，主要是看圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系，这一点并不像判断直线与圆的交点个数那么直观，需要通过教师的精心引导和启发才能发现，因此，通过数量关系判断直线与圆的位置关系，既是本节课的重点，同时也是本节课的难点.

三、教学过程设计

（一）创设情境 引入课题

我们在上一节课已经学习了点和圆的位置关系，那么请同学们说一说，点和圆的位置关系有哪几种？我们又是如何判断点和圆的位置关系的？如果学生回答有困难，我将向学生呈现下面的表格，并引导学生一起完成下面的表格.

【设计意图】复习的目的一方面是为了巩固上节课刚学的知识，另一方面，也是为新知识的学习提供先行路径.需要注意的是，在带领学生复习点和圆的位置关系时，教师要注意引导学生用点到圆心的距离和圆半径作比较，来判断点和圆的位置关系，从而为用数量关系来判断直线和圆的位置关系做好铺垫.

在复习了点和圆的位置关系之后，引导学生欣赏下面的动画：

一轮红日从海上冉冉升起，它穿过海平面，越升越高，直到最后完全升到海平面以上.

在看完视频以后，教师立即提问学生：刚才看到的动画漂亮吗？你们能看出其中的数学问题吗？

如果学生不能看出其中的数学问题，那么教师可以给予适当的启发：“如果把太阳的轮廓当作一个圆，把地平线近似地看作一条直线，那么直线和圆位置关系有哪些？”这样可以使学生的思考方向更加明确.

【设计意图】从人们熟悉的太阳东升西落问题展开，让学生感受生活中反映直线与圆的位置关系的现象，这样设计不仅可以让学生亲身体会到现实生活中的数学知识，增强学生学习的趣味性，而且可以更好地体现回归生活的教育理念.同时，让学生从身边熟悉的现象中抽象出数学问题，更好地培养学生的抽象能力和用数学的眼光观察世界的态度.

在回答问题的过程中，学生一般都能把海平面想象成一条直线，把太阳看作一个圆，并说出直线与圆可能有三种位置关系.但是，需要注意的是太阳与海平面本身是不可能相交的，因此，教师要提醒学生这是想象，而不是太阳与海平面真的相交与相切.

（二）合作交流 探究新知

在学生发现直线与圆有三种不同的位置關系以后，教师可以进一步提问学生：你判断直线与圆具有三种不同位置关系的依据（或分类标准）是什么？

【设计意图】提出这一问题的目的，是引导从直线与圆的交点个数，来判断直线与圆的位置关系，由于学生在上一节课已经学习了点与圆的位置关系，因此，只要教师适当加以启发，学生通过类比，就发现可以按照交点个数，来对直线与圆的位置关系进行分类.这一探索过程，不仅涉及类比思想，还涉及分类的思想，提出这一问题不仅有助于学生掌握科学思维的一般方法，还有利于学生养成用数学的思维方法分析世界的态度.

需要注意的是可能有少数学生在进行分类时认为直线与圆的公共点有可能是一个公共点、两个公共点、三个公共点或者是没有公共点，因而提出直线与圆的位置关系一共有四种关系，这时教师要提醒学生按照圆的定义，圆是不包括圆心的，因此，直线与圆的交点个数不可能是三个.

弄清楚了直线与圆具有三种不同的位置关系及其分类标准以后，接下来要做的就是对这三种关系分别进行命名.虽然命名是数学家的事，学生也很难提出和数学家一模一样的名称，但是命名本身也是一种发现，命名在某种意义上来说是思维发展到一定程度的必然产物，因此，引导学生自己命名不仅可以让学生把自己的思想用精炼、概括的数学语言充分地表达出来，培养学生运用数学语言表达世界的意识，而且通过学生自己命名，可以激发学生探索发现的积极性和主动性，使学生体验获得发现的成就感.此时，教师可以尝试性地提出以下问题：刚才大家已经发现了直线与圆具有三种不同的位置关系，你们能不能根据你们自己的经验给它们分别取个名字呢？

在这里，学生最容易想到的是模仿点与圆的三种位置关系来进行命名，得到直线在圆外、圆上和圆内这三种情况，学生这样命名也很正常，教师这时不应急于指出学生的错误，而应首先肯定“直线在圆外”这种说法的合理性，但对其他两种名称则可以通过“你觉得这样命名合理吗？”这样的反问来让学生发现这两种命名的不合理之处，然后再通过与直线之间位置关系的类比，引导学生发现“直线与圆相交”这一名称，至于“直线与圆相切”这一名称要学生来发现是很困难的，这时教师可以通过“你们想看看数学家们是怎样命名的吗？”这样的问题来自然而然地引出来.

在学生通过探索发现直线和圆的三种位置关系及其名称以后，接下来教师可以进一步提问学生：“你们还能用别的办法来判断直线与圆的位置关系吗？”

【设计意图】提出这一问题的目的，是让学生在前面已经掌握从“形”的角度，来判定直线与圆位置关系的基础上，进一步引导学生从“数”的角度，来探究直线与圆的位置关系.在这方面，学生是有一定基础的，因为在上一节学生已经学过用点到圆心的距离和圆半径作比较，来判断点和圆的位置关系的方法，并且经历探索判断点和圆位置关系的研究过程；而且在课前，通过提问和学案，复习了点和圆的位置关系，并且强化了用圆心与点的连线与圆的半径作比较来判断点和圆的位置关系这一方法，这些前期准备工作，可以为学生的探究提供坚实的类比和联想的基础.即使学生实在想不到，教师也可以通过“刚才我们是怎样判断直线与圆的位置关系的？”“是从什么角度来思考问题的？”或“上一节我们是如何判定点和圆的位置关系的？”“能否类比点和圆的位置关系的判定方法，来判定直线与圆的位置关系？”等引导性的提示语来对学生进行启发，经过这样的不断启发，学生基本能够发现利用数量关系来判断直线与圆的位置关系这一方法.

（三）归纳猜想 验证发现

刚才大家通过和点与圆的位置关系判断方法进行类比，发现利用圆心到直线的距离与圆半径之间的大小关系做比较的方法来判定直线和圆的位置关系.这个结论是通过观察和实验得到的，这样得到的结论是否一定正确？如何才能确保它的正确性呢？

【设计意图】设计这一问题的目的，是要引导学生将猜想获得的结论通过推理进行验证，这种先猜后证的思想不仅是科学研究的基本方法，而且也是新课程标准大力倡导的教学理念.

需要注意的是，在这一证明过程中，证明dr时直线与圆相切比较容易，而证明d=r时直线与圆相切学生会有一定困难，此时教师应适当加以引导.

讲到这里，教师可以引导学生对直线与圆的位置关系的三种判断方法进行归纳，并向学生说明这三种关系有且只有一种成立.另外，还应该强调圆心到直线的距离与圆半径的比较，既可以作为各种位置关系的判断方法，也可以看作是各种位置关系所具有的性质.同时可以通过让学生填写下表的方式来巩固所学的知识.

（四）课堂小结 梳理新知

课堂小结时，教师可以提出下列问题引导学生在表格中总结本节课所学的知识.

（1）通过直线与圆的位置关系的判断，你学到了什么？

（2）判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？

（3）如何求出直线与圆的相交弦长？

【设计意图】通过这些题目，可以让学生系统梳理本节课所学的知识，同时提问学生“你学到了什么？”可以将学生的收获延伸到过程与方法、情感态度与价值观等方面，有利于更好地落实新课程标准所倡导的三维教学目标.

四、结语

作为数学教材来说，其编排的内容常像数学科学本身一样具有“二重性”，一方面是数学逻辑推理等形成的严谨性；另一方面在艰深的数学原理背后常常隐藏着许多生动形象的探索故事，而推动数学家们做出数学成功并驱动他们成功的动因，却常常是基于一些朴素的、原始的、简单的、本原性的问题.因此，才有问题驱动策略来反思数学知识结构.这不仅要关注学生的学习情感体验，而且也是基于数学本质——“用问题驱动的数学”的教学.问题驱动下的课堂教学，不仅可以创新课堂教学的方式，而且可以引发学生数学思考，逐步实现由“学会”到“会学”的转变，有利于学生今后的终身学习.