“构造”诚可贵 “原理”价更高

陈国伟+++孙雅彬

摘 要：导数是微积分中的重要基础概念，作为初等数学和高等数学衔接的重要内容，它是近年来竞赛、高校自主招生考试的考查热点之一.教师在通过构造函数法用导数解决实际问题时，应多方阐释导数中构造函数方法的数学背景和原理，完善该问题所蕴含的数学思想方法.

关键词：导数；原理；构造函数 导数是微积分中的重要基础概念.作为初等数学和高等数学衔接的重要内容之一，导数问题引入高中教材以来就以其独特的数学魅力占领了数学高考的主阵地，同时它也是近年来竞赛、高校自主招生考试的考查热点之一.然而正是由于其蕴含的丰富多彩的数学思维和思想方法，让很多学生“闻导色变”，特别是涉及创新思维下的构造函数解决问题的题型，更是让学生“望而却步”.下面，笔者以导数中的构造函数方法解决问题为例，从构造法产生的数学背景入手，对有关导数中构造函数方法的“原理”进行探讨.

一、追本溯源 从公式结构入手是构造函数的奠基石

众所周知，数学中的公式、定理、性质等反映的是一种客观规律，它们的产生往往是数学家们深思熟虑、甚至是终身不懈努力的结果，因此这些公式、定理、性质等得出的过程蕴含着丰富及深刻的数学思维过程，特别是它们的变形、逆应用及其他生成、推广衍生等结论，更是对学生数学思维的培养起着不可忽视的作用.

例1 （1）（2015福建高考理10）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=-1，其导函数f'（x）满足f'（x）>k>1，则下列结论中一定错误的是（ ）

A. f（）< B. f（）>

C. f（）< D. f（）>

（2）（2015全国卷Ⅱ理12）设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（-1）=0，当x>0时，xf'（x）-f（x）<0，则使得f（x）>0成立的x的取值范围是（ ）

A.（-∞，-1）∪（0，1） B.（-1，0）∪（1，+∞）

C.（-∞，-1）∪（-1，0） D.（0，1）∪（1，+∞）

【解析】题（1）：由条件f'（x）>k>1结合求导公式（kx）'=k，可构造函数g（x）=f（x）-kx，则g'（x）=f'（x）-k>0，即函数g（x）在定义域上单调递增，又因为>0 ，所以g（）>g（0），即f（）->-1，化简得f（）>，故选项C必定错误.

题（2）：由条件f'（x）-f（x）<0，结合求导公式〔〕'=，可构造函数g（x）=，则g'（x）=，即函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，又因为f（x）是奇函数，所以g（x）是偶函数，则g（x）在x∈（-∞，0）上单调递增，且g=（-1）=g（1）=0，所以当x∈（0，1）时，g（x）>0即f（x）>0；当x∈（-∞，-1）时，g（x）<0即f（x）>0，故答案选A.

利用题中所给条件，结合函数的求导公式，推本溯源，通过构造辅助函数，把比较大小或解不等式问题转化为利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性解决实际问题，这是用导数解决实际问题的奠基石.当然，有些问题会更为复杂，往往涉及多个公式的综合变形应用，但无论如何，还是离不开从公式结构入手的策略.

二、执果索因 从问题形式入手是构造函数的开路石

很多问题的解决策略并不是很复杂或凭空想象创造出来的，其解决方法实际上是问题本身已经给出的解答策略，例如下面两个高考题：

例2 （1）（2012浙江高考理9）设a>0，b>0，则（ ）

A. 若2a+2a=2b+3b，则a>b

B. 若2a+2a=2b+3b，则a

C. 若2a-2a=2b-3b，则a>b

D. 若2a-2a=2b-3b，则a>b

（2）（2014湖南高考文9）若0

A. ->lnx2-lnx1 B. -

C. x2>x1 D. x2

上述两个高考题主要考查了复合函数的单调性的综合应用，以学生的解题思路而言，题干中的条件和选项毫无关联，无从下手，然而通过选项看问题，则可以理解为函数的单调性问题，即自变量的大小关系与函数值的大小关系的判别，构造一个合理的函数来体现单调性问题则成了解题的基本策略.

【解析】题（1）：由于b>0且ea+2a=eb+3b，则必有ea+2a>eb+2b．如此选项A 和B的判断可构造函数：f（x）=ex+2x，由f'（x）=ex+2>0恒成立，可得函数f（x）=ex+2x在x∈（0，+∞）上单调递增，即a>b成立．同理选项C和D则可构造函数f（x）=ex-2x排除．

题（2）：观察到选项A 和B结构类似，合并同类项后即为判断 -lnx2和-lnx1的大小关系，可构造函数：f（x）=ex-lnx，求导可得f'（x）=ex-，由函数y=ex和y=的图象可得，f'（x）=0在x∈（0，1）有解，即f（x）=ex-lnx在x∈（0，1）上不单调，故排除A 和B．同理对于选项C和D，则可构造函数g（x）=，由g'（x）=<0在x∈（0，1）恒成立，即函数g（x）=在x∈（0，1）上单调递减，由0g（x2），即x2>x1，故答案C成立．

當数学问题的条件和结论之间的关系比较复杂，看似毫无关联时，可根据结论的形式，执果索因，从结论形式入手，寻求条件和结论的联系，往往能激发解题者的思维火花，让解题者豁然开朗，形成鲜明的解题方式，这是运用构造函数方法解决此类导数问题的开路石．

三、承上启下 从问题生成入手是构造函数的试金石

数学知识的系统性很强，任何新知都是前面知识的发展和升华．解题中也是如此，对于旧问题的认识与理解，在解决新问题的过程中起到承前启后的过渡作用，有利于形成新旧问题间的链接，便于学生解决问题．

例3 （2010安徽高考理18）设a≥0，f（x）=x-1-ln2x+2alnx（x>0）.

⑴令F（x）=xf′（x），讨论F（x）在（0，+∞）的单调性并求极值.

⑵求证：当x>1时，恒有x>ln2x-2alnx+1.

【解析】⑴略；

⑵由⑴可得，a≥0时，F（x）的极小值为F（2）=2-2ln2+2a>0.所以F（x）=xf'（x）>0对于x∈（0，+∞）恒成立，所以F'（x）>0在x∈（0，+∞）恒成立，所以f（x）在x∈（0，+∞）内单调递增.所以当x>1时，恒有f（x）>f（1），即x-1-ln2x+2alnx>0，从而原命题得证.

本题要证明的不等式x>ln2x-2alnx+1是由已知函数f（x）>0变形而来，要证明结论成立，只需由第一小题的结论出发得出f（x）的单调性即可.此类方法正如著名数学家、教育家波利亚说过，解题就像采蘑菇一样，当我们发现一个蘑菇时，它的周围可能有一个蘑菇圈，在解题中，当您解完了一道题，可以借助如类比及其他一些科学思维策略和数学思想方法，对问题进行探索与拓展，从而解决一类问题，发展思维能力.这不仅大大提高了学生的解题积极性，同时更能培养学生认真读题、透过现象看本质、挖掘问题隐含条件的能力，是运用构造函数方法解决此类导数问题的试金石．

“构造”诚可贵，“原理”价更高.解题教学并不是简单地告诉学生诸如一、二、三生硬的解题方法或技巧，而是要让学生在解题教学的过程中深刻理解为什么会有这些方法和技巧，它们的产生来自于怎样的数学背景，蕴含怎样的数学思维等.笔者通过探究用构造法解决导数中的函数问题，从数学背景的角度阐释了构造法的原理，正如牛顿说：“每一个目标，我都要它停留在我的眼前，从第一道曙光初现开始，一直保留，慢慢展开，直到整个大地光明为止.”