改变行走的路径

许卫兵

【编者按】小学数学练习课，是当前小学阶段存在最久，也是最常见的课型。在实际授课时，受教师自身教学意识的偏差、专业知识的不足，抑或是教学进度的催赶的影响，练习课总是缺失自己在教学任务中应有的地位。而对于学生来说，传统的练习课枯燥、机械，很容易使他们失去学习兴趣，效果大打折扣。如何将传统的数学练习课上出新意，让练习课成为新授课的有效助力，重获其应有的重视？

作为日常教学的一种基本课型——练习课，教师们并不陌生。但是，练习课要上得好，却非易事。究其原因，有的教师认为，练习课就是将新学的知识进行复习巩固，没有了新鲜感，也就没有了吸引力；有的教师认为，练习课的素材比较单一，教材中基本都有编排，按部就班、照本宣科即可，“泛不起多大波澜”；有的教师认为，学生经过前期学习后，形成了一定的差异，顾此就会失彼，难以调和……

这些看法在一定程度上道出了练习课整体水平不高的原因。然而，要解决这些问题，还必须深究现象背后隐藏的思想根源。首先是“知识本位”观，认为复习课就是巩固所学知识，加深理解，提高熟练程度，提高解题技巧。“会”与“不会”，“对”与“不对”成了很多练习课唯一的评价指标。其次是“齐步走”的统一性，不只是全班学生以一个步调完成同样的任务，更包含着用统一的标准来衡量所有的学生。再者就是任务的单向性，整节课都是教师给学生发指令，学生遵照安排机械地“被练习”。针对这些深层思想根源，贲友林老师在《数学练习课：审视与重建》一文中用一连串的疑问引发我们的深思：我们在关注学生为什么练习的时候，是否也在关注学生练习什么，怎样练习，练习过程中的情感与态度以及练习的感受与效果呢？我们是否发现学生通过练习熟能生巧了呢？是否存在熟能生厌的现象？不同的学生往往会出现不同的错误，有着不同的练习需要，作为教师，如何面向全体而又关注差异？学生能否参与题目的设计与安排？他们的主动性、创造性是被保护、激发，还是被拘囿、抑制？

挖掘思想根源也好，提出质疑也好，实质上都是希望从根本上解决练习课总是在低层次徘徊的局面。个人以为，练习课虽然属于与新授课、复习课相并列的不同课型，但都应该体现数学课堂的价值追求，凸显数学的学科本质，落实数学教育教学的目标。换言之，它的价值和目标应该与新授课保持较高的一致性。那数学课堂教学的总体目标和任务是什么呢？郑毓信教授在其《数学思维与小学数学》一书中指出：从数学教学或数学教育过程来看，应更加强调“通过数学帮助学生学会思维”，即“将数学思维的学习与具体数学知识内容的学习很好地结合起来”“用思维方法的分析去带动具体知识内容的教学”。这在一定程度上表明，无论过去、现在，还是将来，数学课堂都应该基于“思维”教，围绕“思维”学，让学生获得良好的思维启迪，并“逐步学会更清晰、更合理、更深入地思考问题”，进而提升学习质量、生活质量乃至人生境界。

从这一角度来看，数学练习课应该去除形式，凸显本质，摒弃“知识中心”，建立起新的教学思维。这种教学思维的核心，就是要突出与数学学科特点相匹配的数学思考与数学思维。

一、建立整体性思维，促进建构

数学是整体的。数学的整体性主要表现在数学知识的系统和结构，数学学习只要关注到系统和结构就会事半功倍。作为新知学习结束之后的练习课，很有必要突出整体性思维的引导，促进认知建构。就如，在一年级学习完加法和减法之后，一图四式（即看图写出两道加法算式和两道减法算式）是常见的练习题。这一内容，实质上跟一年级最初认数学习时的“分与合”相连（如图1），所有的一图四式都可以用其中的第三幅分支图模型来表达——从“分”的角度想，就是两道减法；从“合”的角度想，就是两道加法。随后，学生还会接触到含有扩线的问题解决（如图2），也都可以用“分与合”的思路以及分支图模型来表达——求总数，就是“合”，“？”就在分支图的总数部分，而部分数是已知的（可以画“√”表示）；求部分数，就是“分”，“？”就在分支图任意一个部分数的方框内，其余的都是已知的。再往后，还会出现纯文字的加减法解决实际问题，也可以用分支图来转换，辅以“√”和“？”。这样，整个一年级加减法的学习，不仅有了主线和灵魂，还建立了直观模型。学生的整体性建构一旦形成，那学习就会轻松而高效。而这样的教学理解，应该贯穿在与此相关联的内容的新授课、练习课与复习课中。有些教师十分重视学生用图形的方式来整理学习成果（如“思维导图”），是值得倡导和推广的，因为用生动、鲜活、形象的方式来表达数学的整体结构，会不断滋养学生的整体性、结构化、系统性思维，让学生获得数学学习的重要“法宝”。

二、建立过程性思维，促进理解

探讨数学练习课，绕不开过程和结果这个话题。这是因为，“重结果，轻过程”的现象一直存在于日常练习课教学中。这里的结果，可以看成练习题最后的答案，也可以看成是练习课所要达到的效果。在传统教学观念中，人们常常采用二元思维将两者对立起来，于是就有了“重结果，轻过程”“重过程，轻结果”“既要重过程，又要重结果”等说法。如果从促进学习思考、发展学生思维的角度来看，二者更应该是统一的、整体的，即“过程”孕育着“结果”，“结果”就在“过程”中，“过程”就是“结果”，“结果”也是一种“过程”。就如，在学习“长方形和正方形的认识”后，有这样一道练习题：“请在方格图上画一个长方形，再在长方形中画一个最大的正方形。”由于学习水平的差异，学生中出现将正方形画到长方形外面，正方形画在长方形内部（边长小于宽），正方形有两条边长和长方形的长重合等情况是很自然的，但是面对这三种现象，教师是应该直接让学生知道答案（正方形有两条边长和长方形的长重合），还是让学生展示自己的画图成果，讲述自己的思考并相互评价呢？很显然，我们需要的是后者，也就是让学生首先呈現正方形画在外面的图，让大家都明白看清题目要求很重要。然后再来看没有画在外面的情况，相互讨论和辨析，最终弄明白“长方形里最大的正方形”是怎么回事。在这一“逐步逼近答案”的过程中，学生收获的不只是解决了所给问题，更获得交流、碰撞、研讨的深刻体验。

由此想开来，我们不仅要关注学生练习的过程、体验、感悟，也要将所学和所用的静态数学知识看成动态的过程。例如，在平均数的练习中，有教师形成板书（如图3），并揭示出：平均分就是“把一些东西分成了几个几”的过程。应该说，将“平均分”看成一个“过程”，这是对“平均分”意义的丰富和具体化。从整个知识系统来看，赋予“平均分”以“过程”意义，影响很大。就如，随后即将学习用除法算式来表示平均分的数学问题，除法算式的结构模型为“□÷□=□”，第一个“□”代表分的总数，“÷□”表示怎样分，“=□”表示分得的结果是什么。算式的前后顺序跟平均分的过程正好是对应着的，除法算式的学习难度明显降低了。

三、建立逻辑性思维，培育理性

严密的逻辑性是数学学科重要的特点。而严密性的背后，蕴含着极强的数学思考和理性思维。数学知识的内涵十分丰富，密切的联系、严密的数理、抽象的概念、恒定的规则等，这些都是数学内容的理性表达。因此，学数学、做数学、上练习课都不能停留在知道“是什么”，还要明白“为什么”。对“为什么”的追问可以看成是培育学生理性思维的一个方面。

数学知识作为一种抽象的存在，很多时候都超越经验，必须借助于理性的抽象思考才能领悟其本质。教师在学生已有经验的基础上，搭建合理的想象起飞跑道，才能助其实现富有逻辑的抽象，达到对数学知识本质属性的理性认识。例如，在“观察物体”的教学中，学生很容易提出“看到的一前一后两个正方体的面并非等大，为什么却要画成一样大”这样的问题。教师就应当清楚数学上所画的视图不同于美术中的透视，而是用平行光线正投影得到的物体轮廓。如何跨越经验与抽象的视图之间的鸿沟？教师不妨让学生逐渐远离物体，体会长距离下人的视线对于小物体趋近于平行线时所看到的两个正方形趋近等大。另一方面，这种画法所得结果的唯一性避免了根据人眼观察物体因距离远近而结果各不相同不利于数学交流的尴尬，体会三视图画法的优越性，感悟数学理性的价值。

当然，数学的逻辑与理性，和批判性思维紧密相关。在练习中，多问“为什么”，并为自己的结论进行解释与说明，对产生的结论进行质疑和论证，长此以往，理性的哲思必将塑造学生的理性气质。

四、建立开放性思维，催生智慧

梁梦莉老师与雷晓云老师在《小学数学练习系统的特点分析》一文中指出：“相比于传统教科书而言，新教材的练习系统在类型上有了很大的变化，增加了估算题、探索题、开放题、实践题等新题型，这些新题型蕴含了新的数学教育理念。探索题主要是让学生通过自己观察来探索数学规律；开放题则没有唯一的答案，学生可以自由发挥，有利于发散思维的培养；实践题有动手操作题、调查统计题，可以让学生在实际操作中体会数学问题的意义”。

个人以为，这种变化与新课程改革“培养具有创新精神和实践能力”的人才目标是相适应的，也是与当前渐渐升温的核心素养培养相吻合的。理想的数学课堂应该具有很强的开放性，课内向课外打开，自我向他人打开，现实向虚拟打开，有限向无限打开……在各种各样的“打开”中，美妙、美好相伴而生，惊讶、惊喜、惊奇、惊叹纷至沓来。于是，数学与生活、探究与发现、成功与享受都将融为一体，数学学习的世界變得无比精彩。

坦率地讲，教材中的练习开放度小、思路单一、答案唯一已是司空见惯，制约着教师的教学思维，也影响着学生的思维发展。因此，教师在设计练习时，要善于对“学材”进行加工和改造，努力体现出开放性。只要开放，就会有很多不确定性，在不确定的学习情境中，不同的学生就会有多样化的思考——或是想法数量上的差异，或是解决问题方法上的差异，或是想法水平上的差异，有了差异，自然就有了交流和共享，有了修正和补充，有了生成和共进，数学素养的培养和学生创新实践能力的提高就有了平台和载体。

总的说来，数学练习课，目的不应只是巩固知识、提高能力，更为重要的是激发思考、锤炼思维、培育智慧。有了这样的方向，我们必须改变原有的行走路径，让练习课焕发出耀眼的光芒！

（作者单位：江苏省海安县城南实验小学）