聚焦圆与方程问题中的常见错解

■殷卓然

聚焦圆与方程问题中的常见错解

■殷卓然

圆与方程是大家熟悉的概念，求解圆与方程问题，应仔细审题，认真计算。

一、不注意圆方程的约束条件致错

例 1 已知直线l经过点A（l，l），且与圆x2+y2+x—3y+k=0相切，则直线l的斜率k（k∈R）的取值范围是____。

错解：由题意知点A（l，l）不在圆x2+y2+x—3y+k=0的内部，故把点A（l，l）的坐标代入圆方程满足l2+l2+l—3×l+k≥0，即k≥0。故k的取值范围是[0，+∞）。

错因分析：由圆方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，可知此方程表示圆的条件是D2+E2—4F＞0，错解忽视了这一约束条件。

正解：由题意知方程x2+y2+x—3y+k=0表示圆，则l2+（—3）2—4k＞0，所以k＜又点A（l，l）不在圆x2+y2+x—3y+k=0的内部，所以k≥0。

二、思考不严密致错

例 2 已知圆 M：（x—l）2+（y—l）2=4，直线l过点P（2，3）且与圆M 相交，直线l被圆M截得的弦长为，则直线l的方程为（ ）。

A.3x—4y+6=0

B.4x—3y+6=0

C.x=2或4x—3y+6=0

D.x=—2或3x—4y+6=0

错解：把点P（2，3）代入圆M 的方程，可知点P在圆外。

设直线l的方程为y—3=k（x—2），即kx—y+3—2k=0。因为直线l被圆截得的弦长为，所以由点到直线的距离公式得，解得k=。故直线l的方程为3x—4y+6=0。应选A。

错因分析：上述解法忽视了直线l的斜率不存在的情况，当直线l的斜率不存在时也满足题意。

正解：①当直线l的斜率存在时，由上可得直线l的方程为3x—4y+6=0。②当直线l的斜率不存在时，其方程为x=2，这时直线l被圆M截得的弦长也为适合题意。

综上可得，直线l的方程为x=2或3x—4y+6=0。应选C。

例 3 直线l：y=k（x—5）与圆O：x2+y2=l6相交于A，B两点，当k变动时，则弦AB的中点M的轨迹方程为____。

错解：设点M（x，y）。易知直线l恒过定点P（5，0）。由OM⊥AP，可得|OP|2=|OM|2+|MP|2，所以x2+y2+（x—5）2+y2=25，整理得即为所求的中点M的轨迹方程。

错因分析：上述解法在求点的轨迹方程时不注意进行检验致错。求轨迹方程问题，一定是符合实际情况的轨迹方程。

正解：设点M（x，y）。易知直线恒过定点P（5，0）。由OM⊥AP，可得|OP|2=|OM|2+|MP|2，所以x2+y2+（x—5）2+y2=25，整理得

由于弦AB的中点M 必在圆内，所以所求的中点M 的轨迹方程为

河南罗山高级中学高三（l）班

（责任编辑 郭正华）