例析直线与圆的位置关系

■王晓明

例析直线与圆的位置关系

■王晓明

直线与圆的位置关系是直线方程与圆的方程的重要知识点，也是高考的常考点。下面举例分析这类问题的解题思想和方法，以供大家学习与参考。

例 1 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2—8x+l5=0，若直线y=kx—2上至少存在一点，使得以该点为圆心，l为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是____。

解：圆C的方程可化为（x—4）2+y2=l，可知该圆的圆心坐标为（4，0），半径为l。

由题意可知，直线y=kx—2上至少存在一点（x0，kx0—2），以该点为圆心，l为半径的圆与圆C有公共点。

方法总结：判断直线与圆的位置关系要注意的是能用几何法的优先用几何法，尽量不用代数法。

变式训练1：直线l：y—l=k（x—l）和圆x2+y2—2y—3=0的位置关系是____。

提示：将圆方程x2+y2—2y—3=0化为x2+（y—l）2=4。

由于直线l过定点（l，l），且l2+（l—l）2=l＜4，即定点（l，l）在圆内，所以直线l与圆的位置关系是相交。

例 2 已知圆C：x2+y2+2x—4y+3=0。

（l）若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程。

（2）从圆C 外一点P（x，y）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求点P的轨迹方程。

解：（l）将圆C 配方可得（x+l）2+（y—2）2=2，其圆心C（—l，2），半径为

由题意可知直线l在两坐标轴上的截距不为零，可设直线l的方程为x+y—a=0。

故所求直线l的方程为x+y+l=0或x+y—3=0。

（2）由|PC|2=|PM|2+|CM|2=|PM|2+r2，可得|PM|2=|PC|2—r2。

因为|PM|=|PO|，又|PC|2—r2=|PO|2，所以（x+l）2+（y—2）2—2=x2+y2，即2x—4y+3=0为所求点P的轨迹方程。

方法总结：求过一点的圆的切线方程，要分清该点在圆上还是在圆外这两种情况，同时要注意切线斜率不存在的情况。

变式训练2：已知点 M（3，l），直线ax—y+4=0及圆（x—l）2+（y—2）2=4。

（l）求过M 点的圆的切线方程。

（2）若直线ax—y+4=0与圆相切，求a的值。

提示：（l）设已知圆的圆心为C，半径为r，则C（l，2），r=2。

当直线的斜率不存在时，由圆心C（l，2）到直线x=3的距离d=3—l=2=r，可知直线与圆相切，此时切线方程为x=3。

当直线的斜率存在时，设切线方程为y—l=k（x—3），即kx—y+l—3k=0。

综上可知，过M 点的圆的切线方程为x=3或3x—4y—5=0。

（2）由直线ax—y+4=0与圆（x—l）2+（y—2）2=4相切，可得，解得a=0或a=

河南商丘市第一高级中学

（责任编辑 郭正华）