聚焦圆与圆的位置关系的基本问题

2017-02-26 05:48王佩其
中学生数理化·高一版 2017年12期
关键词:外切两圆弦长

■王佩其

聚焦圆与圆的位置关系的基本问题

■王佩其

我们知道,两圆的半径为R,r,两圆的圆心距为d,当d>R+r时,两圆外离;当d=R+r时,两圆外切;当|R—r|<d<R+r时,两圆相交;当d=|R—r|时,两圆内切;当d<|R—r|时,两圆内含。在解析几何中,圆与圆的位置关系主要涉及哪些基本问题呢?下面举例解析。

一、两圆相交时求公共弦长

例 1 已知圆Cl:x2+y2+2x—6y+l=0,圆C2:x2+y2—4x+2y—ll=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长。

解:由圆Cl的方程与圆C2的方程相减,可得3x—4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程。

易知圆Cl的圆心(—l,3),半径r=3。

圆心Cl到公共弦所在直线的距离为d

评注:两圆相交时,把两圆的方程作差消去x2和y2,就得到两圆的公共弦所在的直线方程。利用圆心到弦所在直线的距离求出弦心距,再结合勾股定理可求弦长。

二、圆系方程的应用

例 2 求过两圆x2+y2+6x—4=0和x2+y2+6y—28=0的交点,且圆心在直线x—y—4=0上的圆的方程。

解:利用圆系方程求解。

设所求圆的方程为x2+y2+6x—4+λ(x2+y2+6y—28)=0,整理可得x2+y2+

故所求圆的方程为x2+y2—x+7y—32=0。

评注:利用圆系方程解题的本质是为待定系数法创造条件,利用圆系方程求圆的方程可以优化解题过程。

三、已知两圆位置关系求参数的值

例 3 已知圆Cl:x2+y2—2ax+4y+a2—5=0和圆C2:x2+y2+2x—2ay+a2—3=0。

问a为何值时,(l)两圆外切;

(2)两圆相交;

(3)两圆外离;

(4)两圆内切。

解:将两圆方程化成标准方程为Cl:(x—a)2+(y+2)2=9,C2:(x+l)2+(y—a)2=4,可知两圆的圆心和半径分别为Cl(a,—2),rl=3,C2(—l,a),r2=2。

设两圆的圆心距为d,则d2=(a+l)2+(—2—a)2=2a2+6a+5。

(l)当d=5,即2a2+6a+5=25时,两圆外切,可得a=—5或a=2。

(2)当l<d<5,即l<2a2+6a+5<25时,两圆相交,可得—5<a<—2或—l<a<2。

(3)当d>5,即2a2+6a+5>25时,两圆外离,可得a>2或a<—5。

(4)当d=l,即2a2+6a+5=l时,两圆内切,可得a=—l或a=—2。

评注:判断两圆的位置关系常用几何法,即利用两圆圆心距与两圆半径的和与差之间的关系,一般不采用代数法来判断两圆的位置关系。

江苏太仓市明德高级中学

(责任编辑 郭正华)

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