聚焦圆与圆的位置关系的基本问题

■王佩其

聚焦圆与圆的位置关系的基本问题

■王佩其

我们知道，两圆的半径为R，r，两圆的圆心距为d，当d＞R+r时，两圆外离；当d=R+r时，两圆外切；当|R—r|＜d＜R+r时，两圆相交；当d=|R—r|时，两圆内切；当d＜|R—r|时，两圆内含。在解析几何中，圆与圆的位置关系主要涉及哪些基本问题呢？下面举例解析。

一、两圆相交时求公共弦长

例 1 已知圆Cl：x2+y2+2x—6y+l=0，圆C2：x2+y2—4x+2y—ll=0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长。

解：由圆Cl的方程与圆C2的方程相减，可得3x—4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程。

易知圆Cl的圆心（—l，3），半径r=3。

圆心Cl到公共弦所在直线的距离为d

评注：两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2，就得到两圆的公共弦所在的直线方程。利用圆心到弦所在直线的距离求出弦心距，再结合勾股定理可求弦长。

二、圆系方程的应用

例 2 求过两圆x2+y2+6x—4=0和x2+y2+6y—28=0的交点，且圆心在直线x—y—4=0上的圆的方程。

解：利用圆系方程求解。

设所求圆的方程为x2+y2+6x—4+λ（x2+y2+6y—28）=0，整理可得x2+y2+

故所求圆的方程为x2+y2—x+7y—32=0。

评注：利用圆系方程解题的本质是为待定系数法创造条件，利用圆系方程求圆的方程可以优化解题过程。

三、已知两圆位置关系求参数的值

例 3 已知圆Cl：x2+y2—2ax+4y+a2—5=0和圆C2：x2+y2+2x—2ay+a2—3=0。

问a为何值时，（l）两圆外切；

（2）两圆相交；

（3）两圆外离；

（4）两圆内切。

解：将两圆方程化成标准方程为Cl：（x—a）2+（y+2）2=9，C2：（x+l）2+（y—a）2=4，可知两圆的圆心和半径分别为Cl（a，—2），rl=3，C2（—l，a），r2=2。

设两圆的圆心距为d，则d2=（a+l）2+（—2—a）2=2a2+6a+5。

（l）当d=5，即2a2+6a+5=25时，两圆外切，可得a=—5或a=2。

（2）当l＜d＜5，即l＜2a2+6a+5＜25时，两圆相交，可得—5＜a＜—2或—l＜a＜2。

（3）当d＞5，即2a2+6a+5＞25时，两圆外离，可得a＞2或a＜—5。

（4）当d=l，即2a2+6a+5=l时，两圆内切，可得a=—l或a=—2。

评注：判断两圆的位置关系常用几何法，即利用两圆圆心距与两圆半径的和与差之间的关系，一般不采用代数法来判断两圆的位置关系。

江苏太仓市明德高级中学

（责任编辑 郭正华）