证明直线过定点问题的几种策略

■胡 磊

证明直线过定点问题的几种策略

■胡 磊

证明直线过定点问题是高考的常见题型，也是直线方程中的重要题型，但在实际求解过程中，有些同学不知如何下手。为帮助同学们学好这一知识点，下面剖析几种常见的解题策略和方法。

一、题目展示

例 1 求证 对任意的实数m直线m—l）x+（2m—l）y=m—5必过定点。

例 2 已知m 为实数，直线（2m—l）x—（m+3）y—（m—ll）=0恒过定点吗？

例 3 直线y=mx—3m+2（m∈R）必过的定点坐标为____。

二、思路剖析

例l和例2满足直线方程的一般式，例3满足直线方程的标准式。

形如例l、例2的直线过定点的证明问题，一般由直线方程中参数的任意性，选取两个不同的特殊值（一般代入0、l、2等简单数值），通过方程思想进行求解，也可将方程变形为关于参数m的方程，把直线过定点问题转化为参数恒成立问题，即把几何问题转化为代数问题来解决。

形如例3的直线过定点的证明问题，一般化为点斜式，根据点斜式判断经过的定点。

三、解题展示

例1的解：（特殊值法）由m 的任意性，令m=0，可得x+y=5。 ①

令m=2，可得x+3y=—3。 ②

联立方程①②，解得交点P的坐标为（9，—4）。

将点P（9，—4）代入原方程可得（m—l）×9+（2m—l）×（—4）=m—5恒成立，故直线（m—l）x+（2m—l）y=m—5必过定点（9，—4）。

例2的解：（方程法）由（2m—l）x—（m+3）y—（m—ll）=0，可得（x+3y—ll）—m（2x—y—l）=0。

由于点（2，3）在直线（2m—l）x—（m+3）y—（m—ll）=0上，所以直线（2m—l）x—（m+3）y—（m—ll）=0对任意实数m 都恒过定点（2，3）。

评析：题中所涉及的直线方程，实际上是过两条直线交点的直线方程，希望同学们好好体会。

例3的解：（点斜式法）由y=mx—3m+2，可得y=m（x—3）+2，即y—2=m（x—3）。根据直线的点斜式方程，可知此直线恒过定点（3，2）。

评析：直线的点斜式方程y—y0=k（x—x0），表示直线斜率存在时，恒过定点（x0，y0）的一簇直线。解答此类问题，也可以通过参数的两个不同的取值，求解两条特殊直线的交点来确定定点的坐标。

四、同步练习

求证：不论m 取何值，直线（2m—l）x+（m+3）y—3m+5=0恒过定点。

提示：方程（2m—l）x+（m+3）y—3m+5=0可化为—x+3y+5+m（2x+y—3）=0，则直线（2m—l）x+（m+3）y—3m+5=0恒过直线—x+3y+5=0和直线2x+y—3=0的交点。

故直线（2m—l）x+（m+3）y—3m+5=0恒过定点（2，—l）。

山东平邑东城一中

（责任编辑 郭正华）