高中数学函数分类讨论思想解题探析

江苏省宿迁学院数学系 吴秋霞

江苏宿迁中学 卓 剑

高中数学函数分类讨论思想解题探析

江苏省宿迁学院数学系 吴秋霞

江苏宿迁中学 卓 剑

高中数学题相较于初中而言，综合性显著提升，学生在学习过程中会感到有一定的难度。为了帮助学生提高解题效率以及解题正确率，教师可以传授学生函数分类讨论思想。借助分类讨论思想，学生能够从繁杂的数学题目中寻找到解题规律，从而显著提升自身的解题效率。本人结合自身实际教学经验，就如何在高中数学题解题过程中使用函数分类讨论思想阐述自身的看法，希望能够给广大同仁起到一定的参考作用。

高中数学；分类讨论；函数思想；解题效率

在高中数学众多解题思路中，学生接受最快并且获益最高的解题思路就是分类讨论思想。通过分类讨论，学生能够准确把握命题的类别，并且快速搜寻相应类别题目的解题思路，从而显著提升自身的解题效率以及解题正确率。通过分类讨论，学生也能够做到自身数学知识的再巩固，从而夯实自身的数学基础，为自身今后的数学学习铺路。本人结合自身多年实际教学经验，就如何在高中数学教学过程中使用分类讨论思想解决数学题目阐述自身的看法，希望能够给广大同仁起到一定的参考作用。

一、依据函数概念进行分类讨论，解决相应的问题

每一种类型的函数都有其适用的范围，不同类型的数学题目也存在最优解。因此，教师需要教会学生问题的分类以及熟练掌握不同类别的最优解决方式，只有如此，学生才能够从根本上提升解题效率以及解题正确率。在进行函数概念分类讨论的过程中，教师首先要教导学生的就是不同函数的定义，明确函数的使用范围以及不同函数使用过程中的注意点，在此基础上进行分类教学才能够真正起到作用。

例如，我在讲述和指数函数、对数函数相关的问题的时候，为了帮助学生掌握依据函数概念进行分类解题的方法，给学生设计了如下的一道题目：假设0 ＜ x＜1，a＞0且不为1，请比较丨loga(1-x)丨和丨loga(1+x)丨的大小。为了解决这道题目，学生必须要明确何为指数，何为对数，二者之间有什么联系。在比较大小的过程中，学生需要学会将指数化为对数，通过对数直观地进行二者的比较。当学生将二者变为对数之后，再对x的范围进行分类讨论，自然能够得到想要的答案。

二、依据函数图象的位置进行分类讨论解题

函数应用题中，有一种类型和函数图象对称轴的位置相关，对于此类题型，教师需要教会学生把握对称轴这一关键信息进行解题。学生依据对称轴的位置，可以对图象形状、交点等进行分类讨论，从而解答出最终的答案。这类题型的特征十分明显，教师要教会学生读题画图，通过图象特征看出题目的意图，从而准确地进行分类讨论，最终得到正确的答案。

例如，我在讲述此类分类讨论思想的过程中，给学生出了这样的一道题目：在xoy平面内有一条曲线，y2=2x，点S（a,0）是一动点，曲线上的点到S的最短距离是f（a），求它的函数解析式。在做这道题目的时候，学生最先要做的事情就是画图，通过画图，学生才能够明白S点和函数上的点之间的关系，从而能够借助对称轴找出最短路径。找出最短路径之后，由于这个函数关于x轴对称，进而对a是否大于1进行讨论就能够得到最终的答案。学生只有学会画图，看对称轴，才能够在解题过程中不漏答案，才能够真正保证正确率。分类讨论的一大重要作用就是保证学生在解题过程中做到面面俱到，不多解，不漏解。

三、依据二次函数的类型进行分类，解决相应的应用题

和二次函数类型相关的应用题分为两大类，第一大类是定轴动区间，第二大类是动轴定区间。两种类型的函数题解题方法天差地别，学生如果将其混淆，就会显著降低解题效率和解题正确率。因此，教师首先要做的就是带领学生完成二者的甄别。定轴动区间的典型特征在于题目会提供一个完整的函数表达式，但是给出的区间是未知的。此类题型学生需要首先判断对称轴的位置，在此基础上依据对称轴的位置进行区间范围的划分，从而分类解出答案。而对于动轴定区间，此类题型的典型特征在于给出的函数关系式是不确定的，提供确定区间进行系数的求解。此类题型需要学生分类讨论函数关系式的多种情况，结合区间求出答案。在了解二者的区别以及具体的分类解题方式以后，学生就能够显著提升这类题型的解题效率以及解题正确率，从而显著提升自身的数学解题思维能力。

例如，在讲述动轴定区间的题型过程中，我给学生出了这样一题：已知，一个二次函数关系式是f(x)=ax2+(2a-1)x-3，它在区间[-1.5，2]上的最大值是2，那么a的值是多少？学生依据动轴定区间的特征一眼就能够判定它属于哪种类别，从而能够在第一时间就表示需要对a的范围进行分类讨论。当学生得出最终答案的时候，我提醒学生：必须将得到的a的值和分类条件进行检验，因为部分题目会设置误区，如果不进行检查就会出现自相矛盾，从而扣分。通过这样的教学方法，学生能够迅速掌握此类分类讨论思想，并且在检验的过程中提升自身的解题效率。

综上所述，高中数学教学过程中，函数分类讨论解题思想十分重要，可以帮助学生在最短的时间内最大程度地提升自身的解题效率以及解题正确率。分类讨论思想的适用范围广，学生接受能力强，值得教师在教学过程中进行推广。教师需要结合案例进行分类讨论思想的讲解，强化学生的理解程度，帮助学生显著提升自身的综合数学素养。

[1]张卫星.小学数学教学中学生审题能力的训练[J].教学与管理，2015 （35）：44—46．

[2]范永娟.小学数学教学中学生审题能力的培养之我见[J].考试周刊，2016（65）：68．