圆锥曲线一题多解探究

杨坤++李静

圆锥曲线是解析几何的重要知识之一，它涉及的概念多、公式多、方法多. 在学习过程中，注重一题多解，既可以让我们了解各知识模块之间的联系，又可以培养创新思考、发散思维的能力，提高数学素养.

例1 已知双曲线[x2a2-y2b2=1a>0，b>0]的两个焦点为[F1，F2]，若[P]为其上一点，且[PF1=2PF2]，则双曲线离心率的取值范围为（ ）

A. （1，3） B. [1，3]

C. （3，+[∞]） D. [3，+∞]

解法一 利用三角形正、余弦定理求解.

如图，设[PF2=m]，[∠F1PF2=θ（0<θ≤π）]，当点[P]在右顶点[A]处时，[θ=π].

[∵e=2c2a=m2+（2m）2-4m2cosθm=5-4cosθ]，

又[-1≤cosθ<1]，∴[e∈1，3]，选B.

解法二 利用三角形的两边之和大于第三边，及两边之差小于第三边. 但要注意可以取到等号成立，因为存在三点一线的情况.

设[PF2=m]，则[PF1=2m].

[∴PF1-PF2=m=2a].

又[∵PF1+PF2≥F1F2]（当且仅当[P，F1，F2]三点共线时，等号成立），

[∴3m≥2c. 故6a≥2c. ∴e=ca≤3.]

[又e>1]，[∴e∈1，3]，选B.

解法三 利用焦半径公式确定[a]与[c]的关系.

设点[Px0，y0][x0≥a]，由焦半径公式可得，[PF1=ex0+a，PF2=ex0-a].

[∵PF1=2PF2]，

[∴ex0+a=2ex0-a， 即x0=3ae≥a].

故[e≤3]，又[e>1]，[∴e∈1，3]，选B.

解法四 利用数形结合求解.

[∵PF1-PF2=2a]，又[|PF1|=2|PF2|]，

[∴PF2=2a]，即在双曲线的右支上恒存在点[P]使得[PF2=2a].

由上图可知，[AF2≤PF2.]

[∴OF2-OA=c-a≤2a].

[∴c≤3a. ∴e=ca≤3].

又[e>1]，[∴e∈1，3]，选B.

点评 求解圆锥曲线离心率的取值范围，常涉及列不等式、三角形中角度的变化、圆锥曲线的定义和性质等知识点，综合性强，计算量大.

例2 已知直线[l]过点[D0，3]，且与椭圆[4x2+9y2=36]交于不同两点[M]，[N]，设[DM=λND]，求实数[λ]的取值范围.

解法一 如图1，设[M（x1，y1）] ，[N（x2，y2）] .

（1）当直线[l]斜率不存在时，由于[DADB=5]，且[λ<0]，

故[λ=-5]，或[λ=-15].

（2）当直线[l]斜率存在时，设[l]：[y=kx+3] ，

联立方程[4x2+9y2=36，y=kx+3]消元得，

[（9k2+4）x2+54kx+45=0].①

由①得，[Δ=（54k）2-180（9k2+4）>0]，即[k2>59].

[x1+x2=-54k4+9k2]，[x1?x2=454+9k2].

又∵[DM=λND]，即[（x1，y1-3）=λ（-x1，3-y1）]，

∴[x1=-λx2].

于是[x1+x22x1x2=（1-λ）2-λ=（54k）245（4+9k2）=36×95×（4k2+9）].

[∵k2>59]，[∴365>（1-λ）2-λ>4]，

解得，[-5<λ<-1]，或[-1<λ<-15].

综上所述，实数[λ]的取值范围是[-5≤λ<-1]，或 [-1<λ≤-15].

解法二 如图2，[DM]与[ND]反向，

∴[λ<0]，[λ=-DMND].

[∵]直线[l]绕点[D]在直线[l1]和[y]轴之间旋转，

[∴1

于是实数[λ]的取值范围是[-5≤λ<-1]，或[-1<λ≤-15].

解法三 如图3，[DM]与[ND]反向，

∴[λ<0]，[λ=-DMND].

过点[M]作[y]轴的垂线，垂足为[M1]；过点[N]作[y]轴的垂线，垂足为[N1].

因此，[ΔDMM1]∽[ΔDNN1]，∴[DMDN=DM1DN1].

当直线[l]绕[D]点从[y]轴向直线[l1]旋转时（假设直线[l]与椭圆顺次交于[M，N]两点），[DM1]在逐渐增大，[DN1]在逐渐减小.

于是[15=DBDA≤DM1DN1<1].

当[M]，[N]相互交换位置又会得到，[1

从而实数[λ]的取值范围是[-5≤λ<-1]，或[-1<λ≤-15].

点评 上述解法一运算麻烦，许多同学只能列出式子，而算不出最后结果；还需对特殊情况进行讨论，有不少同学就是因为忽视了对特殊情况的讨论而丢分. 解法二看似思路清晰、运算简便，也省去了分类讨论，在许多同学看来似乎是一个妙法，但仔细分析就会发现，解法二的推理是不严密的. 解法二的推理依据是直线[l]绕[D]点从[y]轴向直线[l1]旋转的过程中（假设直线[l]与椭圆顺次交于[M，N]两点），[DM]在逐渐将增大，[DN]在逐渐减小，于是比值[NDDM]在逐渐减小. 事实上，在旋转过程中[DM]确实在逐渐增大，但是[DN]却不是在逐渐减小.[DN]的最大值并不一定是[DA]，它与椭圆的“扁”的程度有关，也就是说[DN]并不是在逐渐减小，由此得出[NDDM]在逐渐减小是欠妥当的，是缺乏推理依据的. 解法三思路清晰、运算简便，既避免了烦琐的运算和分类讨论，又弥补了解法二的推理不严密性，不失为一种妙法. 许多直线与椭圆、双曲线、抛物线相交求参数范围的问题都可用此法.

例3 已知椭圆[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]过点[（0，1）]，且离心率为[32].

（1）求椭圆[C]的方程；

（2）[A，B]为椭圆[C]的左、右顶点，点[P]是椭圆[C]上异于[A，B]的动点，直线[AP，BP]分别交直线[l：x=22]于[E，F]两点. 证明：以线段[EF]为直径的圆恒过[x]轴上的定点.

解析 （1）由题意得，[b=1].

而[ca=32]，且[a2=b2+c2]. 解得，[a=2].

[∴]椭圆的方程为[x24+y2=1].

（2）由题意得，[A（-2，0），B（2，0）].

设[P（x0，y0）]，直线[AP]的方程为[y=y0x0+2（x+2）].

令[x=22]，

则[y=（22+2）y0x0+2]，即[E22，（22+2）y0x0+2].

直线[BP]的方程为[y=y0x0-2（x-2）]，

令[x=22]，

则[y=（22-2）y0x0-2]，即[F22，（22-2）y0x0-2].

证法一：设点[M（m，0）]在以线段[EF]为直径的圆上.

则[ME?MF=0]，

即[（m-22）2+（22+2）（22-2）y20x20-4=0].

[∴（m-22）2=4y204-x20].

而[x204+y20=1]，即[4y20=4-x20]，

[∴（m-22）2=1]，[∴m=22+1]，或[m=22-1].

[∴]以线段[EF]为直径的圆必过[x]轴上的定点[（22+1，0）]，或[（22-1，0）].

证法二：以线段[EF]为直径的圆为

[（x-22）2+y-（22+2）y0x0+2?y-（22-2）y0x0-2=0].

令[y=0]得，[（x-22）2+（22+2）（22-2）y20x20-4=0]，

∴[（x-22）2=4y204-x20].

而[x204+y20=1].

即[4y20=4-x20]，

∴[（x-22）2=1]，[∴x=22+1]，或[x=22-1].

[∴]以线段[EF]为直径的圆必过[x]轴上的定点[（22+1，0）]，或[（22-1，0）].

证法三：令[P（0，1）]，则[lAP：x-2+y1=1].

令[x=22]得，[E（22，1+2）].

同理，[F（22，1-2）].

∴以[EF]为直径的圆为[（x-22）2+（y-1）2=2].

当[y=0]时，[x=1+22]，或[x=1-22].

∴圆过[A（22+1，0），B（22-1，0）].

令[P（x0，y0）]，

直线[AP]的方程为[y=y0x0+2（x+2）]，

令[x=22]，

则[y=（22+2）y0x0+2]，即[E22，（22+2）y0x0+2].

直线[BP]的方程为[y=y0x0-2（x-2）]，

令[x=22]，

则[y=（22-2）y0x0-2]，即[F22，（22-2）y0x0-2].

∵[kAE?kAF=y20?4x20-4=-1]，

∴点[A]在以[EF]为直径的圆上.

同理，點[B]也在[EF]为直径的圆上.

∴定点为[A（22+1，0），或B（22-1，0）].

解析几何中的圆锥曲线问题可以转化为函数、导数、三角、向量、不等式等代数问题来求解. 在学习中可以通过一题多解，培养自己的分析能力，提高自己的数学思维能力，切实提高自己熟练运用代数方法解决几何问题的能力.