常用逻辑用语误区分析

邹同俭++钟成刚

非等价转换导致出错

例1 已知[a∈R]，若函数[f（x）=（4x2+4ax+a2）x]在区间[1，4]上单调递减，求[a]的取值范围.

错解 由题意得，[f（x）=20x2+12ax+a22x].

若[f（x）]在区间[1，4]上单调递减，

则[f（x）][<]0，即[20x2+12ax+a2][<]0.

[∴20+12a+a2<0，320+48a+a2<0.]解得，[a∈（-10，-8）].

分析 对于区间上的可导函数[f（x）]，“[f（x）>0]”与“[f（x）]单调递增”并不是等价命题.

正解 由题意得，[f（x）=20x2+12ax+a22x].

若[f（x）]在区间[1，4]上单调递减，

则[f（x）][≤]0，即[20x2+12ax+a2][≤]0.

[∴20+12a+a2≤0，320+48a+a2≤0.]解得，[a∈[-10，-8]].

点评 若[f（x）]为开区间[（a，b）]上的可导函数，则“[f（x）>0][?][f（x）]单调递增[?][f（x）≥0]”均不为充要条件. 解题时，需注意非等价转换产生的漏解、多解问题.

对四种命题的结构不清楚导致出错

例2 命题：“若函数[f（x）]是偶函数，则函数[f（-x）]是偶函数”的否命题是（ ）

A. 若[f（x）]是奇函数，则[f（-x）]是奇函数

B. 若[f（x）]不是偶函数，则[f（-x）]不是偶函数

C. 若[f（-x）]是偶函数，则[f（x）]是偶函数

D. 若[f（-x）]不是偶函数，则[f（x）]不是偶函数

错解 A. 因为否命题是对条件和结论都否定，而偶函数的否定是奇函数，故选A.

分析 本题主要考查常用逻辑用语中否命题的写法，容易出现两个错误：一是容易把命题的否定和否命题混淆，二是对函数的奇偶性分类不清，错误地认为一个函数不是奇函数就是偶函数.

正解 一个命题的否命题是对原命题的条件和结论都否定. “函数[f（x）]是偶函数“的否定是“函数[f（x）]不是偶函数”，“函数[f（-x）]是偶函数”的否定是“函数[f（-x）]不是偶函数”. 故选B.

点评 熟练掌握互逆命题、否命题、逆否命题的概念及三者的区别.

对关键词的否定形式掌握不准确导致出錯

例3 命题“[a，b]都是负数”的否定是（ ）

错解 “[a，b]都是负数”的否定是：“[a，b]都不是负数”.

分析 错误地认为关键词“都是”的否定是“都不是”.

正解 “[a，b]都是负数”的否定是：“[a，b]不都是负数”或“[a，b]中至少有一个不是负数”.

点评 要正确写出命题的否定和命题的否命题，必须掌握好一些关键词语的否定. 例如“一定”的否定是“不一定”，“任意”的否定是“某个”，“所有的”的否定是“某些”，“[p]或[q]”的否定是“[p]且[q]”等等.

忽视原命题中的隐含条件导致出错

例4 命题：若[x≥0]，则[x2≥0，]其逆否命题是（ ）

错解 “若[x≥0]，则[x2≥0]”的逆否命题是：“若[x2<0]，则[x<0]”.

分析 上面的解法看似没有问题，但仔细推敲便会发现问题：令[x=i]，则有[x2=i2=-1<0]，但[x=i<0]却不成立，因为复数[i]与实数0不能比较大小，这就出现了“原命题是真命题，而其逆否命题为假命题”的问题了.究其原因，发现问题出在原命题的隐含条件（大前提）上，事实上，“[x≥0]”本身隐含了“[x∈R]”这个大前提，但在上面的解法中却没有得到体现，因此，上述逆否命题不是原命题的逆否命题.

正解 原命题应该为：当[x∈R]时，若[x≥0]，则[x2≥0].

其逆否命题是：当[x∈R]时，若[x2<0]，则[x<0].

点评 对于某些要改写为其他形式的命题，最好先利用其逆否命题来判断一下是否等价，若是等价的，则继续改写，否则要进一步明确命题中的隐含条件，将原命题补充完整后再继续改写.

对充分、必要条件概念理解不清导致出错

例5 使不等式[x2-3x-10≥0]成立的一个充分不必要条件是（ ）

A. [x>0] B. [x≤0， 或x>2]

C. {-6，6} D. [x≥5， 或x≤-2]

错解 B或D.

分析 分不清谁是条件谁是结论，是选项推出不等式，还是不等式成立推出选项.

正解 依题意得，所选选项要能保证不等式[x2-3x-10≥0]成立. 但当不等式[x2-3x-10≥0]成立时，所选选项不一定成立. 即所选选项所表示的集合是不等式[x2-3x-10≥0]的解集的真子集. 由不等式[x2-3x-10≥0]解得，[x≥5]，或[x≤-2]. 故应该选C.

点评 （1）判断[p]与[q]之间的充分、必要关系时，要注意方向性，要理清推理顺序，然后根据要求作答，“[A]是[B]的充分不必要条件”指的是“[A?B]，但[B]推不出[A]”. （2）要注意合理转化，根据命题之间的关系：①若[p]是[q]的充分不必要条件，则[?p]是[?q]的必要不充分条件；②若[p]是[q]的充要条件，则[?p]是[?q]的充要条件. （3）证明[A]不能推出[B]时，要会运用反例，即当从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明.

混淆逻辑联结词“或”与生活中的“或”导致出错

例6 命题[p]：方程[x2-3x-10=0]的根是-2，命题[q]：方程[x2-3x-10=0]的根是5，则命题“方程[x2-3x-10=0]的根是-2或5”是 （填“真”或“假”）命题.

错解 因为[p，q]都是假命题，而命题“方程[x2-3x-10=0]的根是-2或5”是[p]或[q]的形式的命题，所以由真值表知，这个命题是假命题.

分析 上述解答混淆了逻辑联结词“或”与日常生活中的连词“或”的含义. 命题“方程[x2-3x-10=0]的根是-2或5”中的“或”，不是逻辑联结词，而是“和”的意思.

正解 填“真”.

点评 要正确理解逻辑联结词“或”与日常生活中的连词“或”的含义. 一方面，逻辑联结词“或”有三层含义，如：[x=1]或[y=2]包含了①[x=1]且[y=2]，②[x=1]但[y≠2]，③[x≠1]但[y=2]三种情况；而日常生活中的“或”相当于“和”，具有两者居其一的意思. 另一方面，逻辑联结词“或”“且”用来联结两个命题的语句，这个命题是复合命题；而作为连词的“或”“且”用来连接两个对象，得到的命题是简单命题.

审题不細、思维不严谨导致出错

例7 已知二次函数[fx=x2-（m-1）x+2m]在区间[0，1]上有且只有一个零点，求实数[m]的取值范围.

错解 由函数的零点的性质得，[f0?f1<0]，即[2mm+2<0]，解得，[-2

所以实数[m]的取值范围为[-2，0].

分析 上面的解法只粗糙地运用函数零点存在性定理，没有注意此定理的适用范围，同时还忽略了问题的其他形式：①在区间[0，1]上有重根；②终点的函数值可能为0.

正解 （1）当方程[x2-（m-1）x+2m=0]在区间[0，1]上有两个相等的实根时，[Δ=m-12-8m=0]，且[0

（2）当方程[x2-（m-1）x+2m=0]有两个不相等的实根时，①有且只有一根在区间[0，1]上时，有[f0?f1<0]，即[2mm+2<0]，解得，[-2

②当[f0=0]时，即[m=0]，[fx=x2+x=0]，解得，[x1=0，x2=-1]，符合题意.

③当[f1=0]时，即[m=-2]，方程可化为[x2+3x-4=0]，解得，[x1=1，x2=-4]，符合题意.

综上所述，实数[m]的取值范围为[-2，0].

点评 （1）使用定理时，一定要注意定理的适用范围，范围以外的要及时补上来；（2）在求参数时，要注意将函数零点的特殊性质与函数的有关性质相结合.