2类切比雪夫多项式性质的证明与应用

●陈科钧 (镇海中学 浙江宁波 315200)

2类切比雪夫多项式性质的证明与应用

●陈科钧 (镇海中学 浙江宁波 315200)

文章给出了2类切比雪夫多项式的2个不等式性质的初等解法.以数学高考、竞赛、学考试题为载体，分析这2个性质在中学数学教学中的应用，尝试用高等数学的思想、观点、方法去解释中学数学问题.

切比雪夫多项式；最值问题；积化和差；赋值法

切比雪夫多项式是高等数学中的内容，但是在全国各省市高考试题及各类数学竞赛中多有涉及.张奠宙先生曾指出：“在日常的中学数学教学中，能够用高等数学的思想、观点、方法去解释和理解中学数学问题的例子很多，重要的是作为一名数学教师应该具备这样的思维意识.”[1]笔者给出了2类切比雪夫多项式中的2个性质的初等解法及其应用.

1 性质证明

性质1[2]设函数f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0，若对任意的x∈[-1,1]，|f(x)|≤1，则|an|max=2n-1.

先证明以下3个引理：

因此对n+1也成立.

证明 由积化和差公式可知

证明 由积化和差公式可知

性质1的证明 令x=cosθ，其中θ∈[0,2π],由引理1可知

从而

即|an|≤2n-1.当且仅当|f(x)|=|cosnθ|(其中x=cosθ)时，等号成立.

性质2的证明 令x=cosθ,其中θ∈[0,2π]，由引理1可知

即

从而|an|≤2n.当且仅当|g(x)|=|sin(n+1)θ|(其中x=cosθ)时，等号成立.

这样就用初等的方法证明了以上2个性质，同时还可以得到2个推论:

例1 已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d，当0≤x≤1时，|f′(x)|≤1，试求a的最大值.

(2010年全国高中数学联赛试题第9题)

分析 将自变量的范围变换到[-1,1]，采用换元法.令t=2x-1，其中t∈[-1,1]，则

1)|a|≤2;

2)|ax+b|≤2.

(2015年奥林匹克希望联盟夏令营试题第11题)

从而

故|ax+b|≤2.

1)，2)略.

3)若对任意实数a,b，总存在实数x0∈[0,4]使得f(x0)≥m成立，求实数m的取值范围.

(2015年1月浙江省学业水平考试第34题)

1)，2)略.

3)记g(x)=|f′(x)|(其中-1≤x≤1)的最大值为M，若M≥k对任意的b,c恒成立，求k的最大值.

(2009年湖北省数学高考理科试题第21题)

切比雪夫多项式在数学竞赛、高考、学业水平考试中的出现，极大地丰富了考查学生的数学核心素养的内容，具有良好的导向作用，因此教师有必要在教学中加大初等知识和高等知识交叉点的研究与学习，优化知识结构，并善于利用高等数学的知识、观点和方法来审视初等数学知识，提高数学教学的能力.

[1] 沈虎跃.一道竞赛试题的解法分析与命题背景[J].中学教研(数学)，2009(10)：34-36.

[2] 佩捷,林常.切比雪夫逼近问题[M].哈尔滨：哈尔滨工业出版社，2013.

即

综上所述，AE平分∠UAV，又AE⊥UV，故△AUV是等腰三角形.

评注 此法最为简洁，只需添加一条关键辅助线——公共弦即可完成全部证明,“两线合一”判定等腰三角形是此法的核心要领.通过分析问题所提供的信息，恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,可以使题设和结论的逻辑关系明朗化[1].好的解法应当尽量简单，赏析多种证法可以帮助我们拓展思路，开阔眼界，明白什么是好的解法.

除了证法1这种最简洁的证法之外，该题还有其他证明方法：

图3

证法2 如图3，作出△ACX与△ABY的外接圆⊙O1，⊙O2,2个圆相交于点A,D，联结AD,延长AB,AC分别与⊙O1,⊙O2相交于点E,F,联结BD,DE,DF,DC.因为在⊙O1中：BX·BC=AB·BE,在⊙O2中：CY·BC=CF·AC,又BX·AC=CY·AB,所以CF=BE.

由∠DEB=π-∠DCA=∠DCF,∠DBE=π-∠DBA=∠DFC,知△DEB≌△DCF，从而DE=CD,于是∠BAD=∠DAC,即DA为∠BAC的角平分线.由根轴的性质得：DA⊥O1O2,即DA⊥UV，从而DA既是角平分线又是底边上的高，故△AUV是等腰三角形.

评注 证法2采用了证全等三角形的方法,关键步骤是通过证明△DEB和△DCF全等，得到对应边DE和CD相等，从而得到⊙O1中一对圆周角∠BAD和∠DAC相等，即DA平分∠BAC.其实，本题还可以通过证另一对三角形(△BEX和△FCY)全等来完成证明，囿于篇幅，此法请读者自行证明.

图4

证法3 如图4，作出△ABC的外心O，联结OA,OB,同时联结O1A,O1X,联结O1O,且与AB相交于点M，联结OO2，且与AC的延长线相交于点N.因为O,O1分别为△ABC和△AXC的外心，所以AO=BO,AO1=XO1且∠AOB=2∠ACB=∠AO1X,从而

△AOB∽△AO1X,

于是

又∠BAO=∠XAO1,从而

∠XAB= ∠XAO1+∠O1AU=

∠BAO+∠O1AU=∠O1AO,

于是

△AOO1∽△ABX，

(1)

同理可得

△AOO2∽△ACY，

(2)

将式(1)除以式(2)，并由已知条件BX·AC=CY·AB，得

即

OO1=OO2，

故

∠OO1O2=∠OO2O1.

又因为O1O所在直线垂直于AC,O2O所在直线垂直于AB,所以

∠AUV= ∠OO1O2+∠O1MU=

∠OO1O2+90°-∠BAC,

∠AVU= ∠VO2N+∠ANO2=

∠OO2O1+90°-∠BAC,

从而

∠AUV=∠AVU,

于是△AUV是等腰三角形.

评注 证法3比较特别，不同于大众思路——证两线合一，它采用直接证明2个底角相等达到证等腰三角形的目的,主要通过作△ABC的外心O，利用外心性质构造相似三角形，然后充分利用相似三角形的边角关系进行证明.题目给出了△ACX，△ABY的外心O1,O2,从图形完整性的角度看，补充△ABC的外心实为一条比较自然而合理的思路.

图5

证法4 如图5，作△ACX与△ABY的外接圆⊙O1,⊙O2，2个圆相交于点A,D，联结AD,BD和DC.联结YD并延长至点E,并联结AE,XE，使得∠AEY=∠AXB.再联结XD并延长至点F,并联结YF,AF和EF，使得∠AFD=∠AYC.因为∠AED=∠AXB,∠ADE=π-∠ADY=π-∠ABY=∠ABX,所以

△ABX∽△ADE,

同理可得

△ADF∽△ACY,

于是

又由已知条件BX·AC=CY·AB，可得

从而

DE=DF,

于是

∠DEF=∠DFE.

由△ABX∽△ADE可得

从而

∠XAE=∠BAD,

于是

△AEX∽△ADB.

同理可得

△ACD∽△AYF，

因此

∠AEX=∠ADB=∠AYB=∠AFD,

即点A,X,E,F共圆，从而

∠BAD=∠XAE=∠DFE.

同理可得点A,Y,E,F也共圆，从而

∠DEF=∠YAF=∠CAD,

又因为已证得∠DEF=∠DFE，所以

∠BAD=∠CAD,

即DA为∠BAC的角平分线.由根轴的性质得

DA⊥O1O2,

从而

DA⊥UV,

于是DA既是角平分线又是底边上的高，故△AUV是等腰三角形.

图6

评注 证法4所作辅助线比较多，由证明四点共圆得到相等的圆周角，然后结合根轴的性质完成证明.

证法5 如图6，作出△ACX与△ABY的外接圆⊙O1,⊙O2，2个圆相交于点A,D，联结DX,DB,DA,DC和DY,则

∠ADB=∠AYB，

∠ADX=∠ACX,

从而∠XDB= ∠ADX-∠ADB=

∠ACX-∠AYB=∠CAY.

(3)

结合式(3)化简得

.

记⊙O2的半径为R2,由正弦定理知

综合式(4)和式(5)可知

sin∠DXC=sin∠BAD.

而∠DXC=∠DAC,且∠DXC与∠BAD均为锐角，于是

∠DXC=∠DAC=∠BAD,

即

∠UAD=∠VAD,

因此DA为∠UAV的角平分线.由根轴的性质得

DA⊥O1O2,

即

DA⊥UV,

从而DA既是角平分线又是底边上的高，故△AUV是等腰三角形.

评注 证法5的特点是将题目已知边的比例关系成功整合正弦定理，得到关键的角相等，从而证明了角平分线，之后的证明过程与上面诸法相同.

参 考 文 献

[1] 倪建荣.平面几何中线段“和差倍分”问题的证明[J].中学教研(数学),2013(6):8-10.

2016-09-26；

2016-10-28作者简介：陈科钧(1988-),男，浙江宁波人，中学二级教师.研究方向：数学教育.

O122.7

A

1003-6407(2017)02-45-04