基于课程标准关注知识联系
——对一道中考试题命制的回顾与反思

2017-02-20 03:26廖生涛仙桃市教育科学研究院湖北仙桃433000

中学教研(数学) 2017年2期

关键词：二面角三视图抛物线

●廖生涛 (仙桃市教育科学研究院湖北仙桃 433000)

●廖生涛 (仙桃市教育科学研究院湖北仙桃 433000)

综合题是中考试卷中区分度较高的题型，多从知识的联系与思想方法的运用等角度考查学生的能力.一道综合试题的命制，大致需要经历确定思路、学习借鉴、基于角色互换的打磨等过程.了解综合题的命制过程，有利于改善例、习题的教学方式.

代数综合；命题过程；考试效度

湖北省仙桃市、潜江市、天门市和江汉油田多年来坚持中考联合命题，试卷被称为“三市一企”卷或江汉卷.笔者作为2016年江汉卷数学命题组成员之一，负责了其中一道代数综合题的命制，现将该题命制时的所思所想与各位同行分享.

1 试题及解答

图1

2)若抛物线C2的顶点与点M关于坐标原点对称，求p的值及抛物线C2的解析式；

3)若直线l沿y轴向下平移q个单位长度后与第2)小题中的抛物线C2存在公共点，求3-4q的最大值.

解 1)-2

p=2-(-2)=4.

因为抛物线C2与抛物线C1开口大小相同，开口方向相反，所以抛物线C2的解析式为

3)点N的坐标为(0,2)，把点M,N的坐标代入y=kx+b，可得

3x2-6x+8-2q=0,

从而

Δ=(-6)2-4×3×(8-2q)≥0,

解得

2 试题命制过程

2.1 根据双向细目表，确定命题思路

根据《考试说明》，命题组制定了双向细目表，对本题的基本定位是：在数与代数领域进行知识的适度综合，着眼于初、高中数学知识衔接，立足思维价值的高度设置问题情境，以区分不同学习水平层次的学生.方程、函数与不等式是中学阶段数与代数领域的核心知识，关注学生可持续发展，与初、高中思维方式的衔接，本题的命题思路确定为：以二次函数为载体，检测学生对所学过知识(函数、方程及不等式)之间关联的理解能力，凸显对数形结合、模型等数学思想的考查[1].

2.2 学习借鉴，命制初稿

正所谓“他山之石，可以攻玉” .笔者广泛查找近几年各地中考试卷中类似的考题，认真分析其解答，就考查的知识点及考查方式选定了2道参照试题.

图2

例1 抛物线y1=ax2+bx+c(其中a≠0)图像的一部分如图2所示，抛物线的顶点坐标A(1，3)，与x轴的一个交点B(4，0)，直线y2=mx+n(其中m≠0)与抛物线交于点A，B，下列结论：① 2a+b=0；②abc>0；③方程ax2+bx+c=3有2个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是(-1，0)；⑤当1

( ).

A.①②③ B.①③④

C.①③⑤ D.②④⑤

(2015年山东省日照市数学中考试题第12题)

1)求二次函数的解析式.

2)若一次函数y=kx+6的图像与二次函数的图像都经过点A(-3，m)，求m和k的值.

3)设二次函数的图像与x轴交于点B，C(点B在点C的左侧)，将二次函数的图像在点B，C间的部分(含点B和点C)向左平移n(其中n>0)个单位后得到的图像记为G，同时将第2)小题中得到的直线y=kx+6向上平移n个单位.请结合图像回答：当平移后的直线与图像G有公共点时，n的取值范围.

(2012年北京市数学中考试题第23题)

例1综合考查了一次函数与二次函数的图像与性质，结论⑤要求利用图像直接判断给定区间内2个函数值的大小，以图像法、数形结合思想等函数核心内容为靶向.例2以待定系数法、抛物线的对称性、图像在坐标系内的变换为考查内容，将直线与抛物线的交点问题作为甄别点，以中学数学知识的联系、思维方式的衔接、学生后续的学习能力为靶向.通过学习借鉴，笔者将二次函数与一次函数综合，以图像法解不等式、坐标系内图像变换、一元二次方程根的判别式与图像交点个数的关系为考查内容，命制了如下初稿：

2)求抛物线C2的解析式；

3)若直线l向右平移q个单位长度后与第2)小题中抛物线C2存在公共点，求6q-5的最小值.

2.3 研读课标与教材，精心打磨试题

体现区分度的试题面向的是学有余力的学生，但是也只能是适度拔高，考查的知识点要在课本上找到源头、看到影子.为确保试题具有良好的检测功能及教学导向功能，笔者认真研读了《课程标准》中的相关知识点和要求，以及本地使用的人教版教材对该知识的呈现方式，对试题作了2次大的调整.

对于二次函数图像在坐标系内的变换，课本例题直接呈现的是y=ax2,y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k之间的关系，揭示二次项系数相同的二次函数图像可通过平移互相转化[2].在习题中有意识地引导部分学有余力的学生，通过比较y=ax2与y=-ax2图像之间的关系，认识到通过以x轴为对称轴作变换可相互得到.因此，笔者认为将抛物线以原点为中心作对称变换要求过高，于是将试题作了第1次修改，对题干及第2)小题的表述作如下变化：

1)略;

2)若抛物线C2的顶点与点M关于坐标原点对称，求p的值及抛物线C2的解析式;

3)略.

再次审视试题，对于第3)小题中直线l的平移，在学习一次函数的平移时，我们往往只对与y轴的交点坐标作了定量分析，而对与x轴的交点坐标没有具体要求.考虑到大多数学生解决此问题时，势必要有一次转换，使得解题过程较为繁琐，因此将直线运动的参照物由x轴改为y轴，简化运算，适当增加由一次函数性质求最大值，试题难度保持不变.这样试题第3)小题如文首所示.

3 试题测试效度

从试题的实测数据看，第1)～3)小题的难度系数分别为0.92，0.76，0.17，试题的整体难度系数为0.37，区分度为0.80，是一道难度合适、区分度合适的综合题，较好地起到了检测与甄别的作用.

从考生答卷分析，图像法解不等式普遍完成较好，确定抛物线C2的解析式有顶点式和一般式的不同解法出现.值得一提的是，在求3-4q的最大值时，出现了参考答案预设之外的解法：

-6x2-12x-13=3-4q.

当x=-1时，-6x2-12x-13有最大值为-7，故3-4q的最大值为-7.

答题过程中，学生的主要错误有：1)求p的值及抛物线C2的解析式，没有将抛物线C1转换成y=a(x-h)2+k形式后，根据翻折确定a，h，k的值，不能得出正确结论；2)部分考生错误理解为：当直线l向下平移到过抛物线C2的顶点时，3-4q取到最大值．

数学学习要强化学科的整体性，教学中要善于帮助学生理解知识之间的实质性联系.中考试题的选拔功能与教学导向功能兼而有之，应坚持以基础知识的交汇处、思想方法的交织处和能力层次的交叉处为着眼点，以初中数学核心知识为载体，考查学生的学科能力和数学素养．

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准[M] .北京：北京师范大学出版社，2012.

[2] 林群.义务教育教科书·数学(9年级上册)[M].北京：人民教育出版社，2014.

2)如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；

3)如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；

4)如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.

其中正确的命题有______(请填写所有正确命题的编号).

(2016年全国数学高考理科试题第14题)

分析对于命题1)，满足条件的2个平面α和β还可能平行或相交，因此命题1)错误；对于命题2)，由n∥α可知在平面α内至少存在1条与n平行的直线,即n∥l，则由m⊥α知m⊥l,从而m⊥n，因此命题2)正确；对于命题3)，根据平面与平面平行的性质定理知命题正确；对于命题4)，因为m∥n，所以m,n与平面α所成的角相等，与平面β所成的角也相等，又由α∥β知这4个角相等，因此正确.故答案为2),3),4).

点评本题考查了空间线面位置关系.辨析空间直线、平面间的平行或垂直关系，此类问题的解答可从3个方面考虑：1)以周围实物(如教室、书桌)为载体，构造相应的线、面，利用排除法确定试题的答案；2)联系所学过的公理、定理、定义、推论，通过比较条件与结论进行判断；3)联想相关的几何体，如正方体、正四面体等，将所给的直线与平面间关系置于这些几何体中进行观察与判断.

2 三视图问题

图1

例2 如图1，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为

( )

C.90 D.81

(2016年全国数学高考理科试题第9题)

分析解决本题的关键是将所给的三视图还原为空间几何体，由所给的三视图可知该几何体是斜四棱柱.

故选B.

点评对于给出几何体的三视图，求其体积或表面积的题目,关键在于要还原出空间几何体，并能根据三视图的有关数据和形状推断出空间几何体的线面关系及相关数据，至于体积或表面积的求解套用对应公式即可.高考命题主要有以下几种形式：从几何体到三视图、从三视图到几何体、从三视图到证明计算.

3 组合体的“接”“切”问题

例3 在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是

( )

(2016年全国数学高考理科试题第1题)

分析在Rt△ABC中，由AB⊥BC，AB=6，BC=8,得AC=10，故Rt△ABC的内切圆半径为

故选B.

点评解答本题的关键是求出球的半径.解答本题特别要注意该三棱柱的底面内切圆的直径与高的关系，若忽视这一点，容易把球看作该三棱柱的内切球，从而得出错误的结论.

4 空间位置关系证明以及空间角、体积等计算

例4 如图2，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°．

1)证明:平面ABEF⊥平面EFDC；

2)求二面角E-BC-A的余弦值．

(2016年全国数学高考理科试题第18题)

图2 图3

分析 1)证明面面垂直，可转化为证明线面垂直，由已知条件可得AF⊥EF，AF⊥DF,从而由面面垂直的判定定理可证.2)如图3，过点D作DG⊥EF交EF于点G，以G为原点、分别以射线GF,GD为x,z轴的正半轴、以过G与AF平行的直线为y轴的正半轴建立空间直角坐标系,从而确定各个点的坐标，进而求出平面BCE与平面ABCD的法向量，接着求出法向量夹角的余弦值，最终求出二面角的余弦值.

证明 1)由已知条件可得AF⊥EF，AF⊥DF.因为DF∩EF=F，所以AF⊥平面EFDC，又AF⊂平面ABEF，故平面ABEF⊥平面EFDC.

设平面BCE的法向量为m=(x1,y1,z1)，平面ABCD的法向量为n=(x2,y2,z2).由

得

点评本题考查了空间位置关系证明以及求二面角.在解决空间距离与空间角问题时，有时可以采用几何法，有时可以采用向量法，可以结合题目的条件加以选择.而往往采用向量法解决问题时思路比较简单，是常用的方法，但是要会根据题意建立合适的坐标系.

5 翻折问题

1)证明：D′H⊥平面ABCD；

2)求二面角B-D′A-C的正弦值.

(2016年全国数学高考理科试题第19题)

图4 图5

分析 1)要证明D′H⊥平面ABCD，可转化为证明D′H⊥EF和D′H⊥OH.而D′H⊥EF可由菱形的性质证明，D′H⊥OH可根据条件利用勾股定理计算证明.

2)如图5,以点H为坐标原点、以射线HF,HD,HD′分别为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，然后通过求平面ABD′和平面ACD′的法向量所成的角进行求解.

OH=1,D′H=DH=3,

于是

D′H2+OH2=32+12=10=D′O2,

故D′H⊥OH.又D′H⊥EF，OH∩EF=H，因此D′H⊥平面ABCD.

2)如图5，以点H为坐标原点、以射线HF,HD,HD′分别为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系H-xyz，则

设平面ABD′的法向量为m=(x1,y1,z1)，平面ACD′的法向量为n=(x2,y2,z2).由

得

进而

点评将平面图形折叠成立体图形时，应注意折叠前后哪些量发生了变化、哪些量没有发生变化,特别应注意寻找折叠前后没有变化的量和关系.一般地，在翻折过程中，处于同一个半平面内的元素是不变的，也即折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持不变，这是解决此类问题的关键.

6 探索存在性问题

例6 如图6，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点，点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动，且DP=BQ=λ(其中0<λ<2).

1)当λ=1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ.

2)问：是否存在λ，使平面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.

(2014年湖北省数学高考理科试题第19题)

图6 图7

1)证明如图7，以D为坐标原点、以射线DA，DC,DD1分别为x，y,z轴的正半轴建立空间直角坐标系.依题意得B(2,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,1,0)，F(1,0,0),P(0,0,λ),则

于是可取n=(λ,-λ,1),同理可得平面PQMN的一个法向量为m=(λ-2,2-λ,1).

若存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则

m·n=(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,

即

λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0，

解得

点评本题是运用向量法求解，还可以运用几何法求解.运用向量法求解的关键是根据题目的已知条件建立合适的空间直角坐标系，利用代数运算求解.

7 作图题

例7 如图8，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E,F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.

1)在图8中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；

2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.

(2015年全国数学高考理科试题第19题)

图8 图9

分析 1)结合图形由面面平行性质可作出所求的正方形.2)由第1)小题可知正方形的边长，然后求出各点的位置，通过建系将各点确定后，用空间向量的方法可求线面所成角的正弦值.

解 1)交线围成的正方形EHGF如图9所示.

2)作EM⊥AB，垂足为M,则

AM=A1E=4，EM=AA1=8.

因为四边形EHGF是正方形，所以

EH=EF=BC=10，

从而

故

AH=10.

点评近几年的数学高考比较注重立体几何性质的应用.本题新颖之处在于在立体几何中作出一个正方形，实质上是考查平行和垂直的基本性质的应用，而在求线线、线面、面面所成的角时，尽可能地将几何问题代数化运算，以减少思维量.

8 与三视图有关的综合问题

例8 四面体ABCD及其三视图如图10所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD,DC,CA于点F,G,H.

1)证明：四边形EFGH是矩形；

2)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.

(2014年陕西省数学高考理科试题第17题)

图10 图11

分析在第1)小题中，先证明四边形EFGH是平行四边形，利用线面平行得出线线平行，便可以达到求证2组对边分别平行的目的，即可得证四边形EFGH是平行四边形；再根据线线垂直得到线面垂直，从而得到EFGH中相邻2边垂直，最后证得EFGH是矩形.第2)小题建立合理的空间直角坐标系，借助于空间向量来解决.线面角的正弦值，即为直线的方向向量与平面的法向量所成的余弦值的绝对值.关键是求平面的法向量，要先设出法向量，再根据法向量和平面内的2个不共线向量的数量积分别为0求出法向量.

1)证明由该四面体的三视图可知：BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1.由题设，BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC=FG，平面EFGH∩平面ABC=EH，从而BC∥FG,BC∥EH,进而FG∥EH.

同理可得EF∥AD，HG∥AD，从而EF∥HG，因此四边形EFGH是平行四边形.又AD⊥DC，AD⊥BD，从而AD⊥平面BDC，进而AD⊥BC,因此EF⊥FG,故四边形EFGH是矩形.