平面向量与不等式复习

●张宗余 祝益锋 (象山中学 浙江象山 315700)

平面向量与不等式复习

●张宗余 祝益锋 (象山中学 浙江象山 315700)

平面向量、不等式作为高考的常见考点，在近几年高考中的分值基本稳定．在命题中，向量的坐标运算和数量积属必考内容，同时此内容与平面几何、立体几何、解析几何联系紧密，因而有着丰富的几何背景．不等式的考查突出工具性，淡化独立性，是不等式命题的总体趋向．

平面向量；不等式；几何意义

1 知识内容

1)平面向量部分：主要考查平面向量的基本概念、平面向量的线性运算及几何意义、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、向量的综合应用．

2)不等式部分：主要考查不等关系及其性质、一元一次不等式、二元一次不等式组与简单线性规划、基本不等式、绝对值不等式及其应用．

2 命题分析

2.1 平面向量部分

近5年的浙江省数学高考试题中，对平面向量的考查分布如表1所示.

表1 平面向量在近5年浙江省数学高考试题中的考查分布

1)命题角度.

①考查平面向量的几何意义以及零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角等概念；

②考查平面向量加法、减法、数乘的概念及其几何意义；

③平面向量的基本定理及其意义，利用平面向量基本定理解决简单问题，向量的加法、减法与数乘的坐标运算；

④根据平面向量的数量积概念及其几何意义解决几何图形中向量的数量积，利用坐标计算平面向量的数量积及2个向量的夹角；

⑤利用数量积证明平行与垂直，利用数量积求最值、证明不等式，利用向量方法解决某些简单的平面几何问题．

2)命题趋势.

平面向量作为高考的常见考点之一，在近几年的浙江省数学高考中分值基本稳定．其中向量的基本概念与运算多以选择题和填空题的形式出现；向量的坐标运算和数量积属必考内容，同时此内容与平面几何、立体几何、解析几何联系紧密，有着丰富的几何背景．

2.2 不等式部分

近5年的浙江省数学高考试题中，对不等式的考查分布如表2所示.

表2 不等式在近5年浙江省数学高考试题中的考查分布

1)命题角度.

①利用作差、作商法比较大小,利用不等式的基本性质判断关于不等式的命题的真假;

②利用函数的图像解一元二次不等式,利用分类讨论解含参数的不等式,利用转化与化归思想解含绝对值的不等式;

④利用三角不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|求最值、证明不等式．

2)命题趋势.

在高考命题趋势上，不等式的考查突出工具性，淡化独立性，这是不等式命题的总体趋向．在数学高考试题中，有关不等式的考查主要有：①不等式的性质，常与指数函数、对数函数、三角函数等结合起来，考查不等式的性质、函数的单调性、最值等；②不等式的证明，多以函数、数列、解析几何等知识为背景，在知识网络的交汇处命题，综合性强，能力要求高；③解不等式，往往与公式、根式和参数的讨论联系在一起，考查学生的等价转化能力和分类讨论能力；④绝对值不等式(三角不等式)在2016年的高考中异军突起，值得重点关注．

3 典题剖析

考点1 平面向量的线性运算及几何意义

例1 设a，b是2个非零向量，

( )

A．若|a+b|=|a|-|b|，则a⊥b

B．若a⊥b，则|a+b|=|a|-|b|

C．若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λa

D．若存在实数λ，使得b=λa，则|a+b|=|a|-|b|

(2012年浙江省数学高考理科试题第5题)

分析 此题较全面地考查了平面向量的模、向量的线性运算及其几何意义、向量的共线定理．

解法1 |a+b|=|a|-|b|平方后得

|a|2+|b|2+2a·b=|a|2+|b|2-2|a||b|,

从而

a·b=-|a||b|,

于是cos=-1,即向量a，b共线．故选C．

解法2 由三角形法则得：若向量不共线，则||a|-|b||<|a+b|(根据三角形两边之差小于第三边)，因此若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λa成立．

考点2 平面向量的数量积

分析 第1)小题考查平面向量射影的概念，方法有直接法、坐标法、几何法等．

解法1 向量a在b方向上的射影为

图1

分析 第2)小题以圆为背景，考查平面向量的数量积，属于动态问题，选择合适的变量，构建函数关系．

图2

解法1 引入∠ABC=θ,其中θ∈(0,π),则

解法3 引入BC边上的中线AD,设AD的长为x(其中x≥2)，则

平面向量有很多与数量积最值相关的问题，解题的关键是利用向量知识将问题转化为函数最值问题，通过构造函数、数形结合、极化恒等式来求最值或范围．向量与函数的结合，既考查了学生的创新数学素养，又加强了对“双基”的考查，特别是向量线性运算．该命题形式符合考纲要求，从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络的交汇处设计试题，对数学基础知识的考查达到必要的深度．

考点3 不等式的解法

分析 从数(方程)的角度，原方程无解，即(ab-1)x=b-1无解，则

ab-1=0,b≠1，

故

从形的角度，原方程无解，即2条不重合的直线平行，则

故

考点4 基本不等式及其应用

2)已知x>0，y>0，2x+8y-xy=0,则x+y的最小值是______;

分析 这3道题均是二元条件最值问题，一般的解法是利用均值不等式、消元法、判别式法、数形结合等．

解 1)(利用均值不等式)由

2)(判别式法)设x+y=t，则2x+8(t-x)-x(t-x)=0，将该式整理成关于x的一元二次方程x2-(6+t)x+8t=0.由于该方程有解，从而

解得t≥18，故x+y的最小值是18．

评注 恩格斯曾说过：数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学，数形结合的根据是数学问题的条件和结论之间的内在联系．解题时既分析其代数意义，又揭示几何直观，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这一结合，寻找解题思路有时能使问题化难为易、化繁为简．

考点5 含参一元二次不等式

例5 关于x的不等式x2-ax+2a<0的解集为A，若A中恰有2个整数，则实数a的取值范围是________．

分析 此题是含参的一元二次不等式问题，解题策略有参数分离、数形结合、函数与方程等．

h(3)

即

h(-1)≤a

即

评注 函数是方程及不等式的支撑，仅用方程来解不等式是不够的，应该从函数高度认识问题．

考点6 含绝对值不等式的解法及应用

例6 不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是

( )

A．(-∞,4) B．(-∞,1) C．(1,4) D．(1,5)

分析 利用零点分类讨论去绝对值，当x<1时，1-x-(5-x)=-4<2成立；当1≤x<5时，x-1-(5-x)=2x-6<2，解得x<4，从而1≤x<4；当x≥5时，x-1-(x-5)=4<2不成立．综上可知，x<4.故选A．

变式 不等式|x-1|-|x-5|≤a对任意的x∈R恒成立，则a的最小值为______．

分析 由绝对值不等式可得

|x-1|-|x-5|≤|(x-1)-(x-5)|=4,

当x≥5时取到等号，故a的最小值为4．

例7 已知f(x)=x2-x+13，|x-a|<1，求证：|f(x)-f(a)|<2(|a|+1)．

分析 本题中给定函数f(x)和条件|x-a|<1，注意到要证的式子右边不含x，因此对条件|x-a|<1的使用有3种选择：1)直接用；2)打开绝对值a-1

证明 由f(x)=x2-x+13，知

f(a)=a2-a+13.

因为|x-a|<1，所以

|x|-|a|≤|x-a|<1,

从而

|x|<|a|+1，

于是 |f(x)-f(a)|= |x2-a2+a-x|=|(x-a)(x+a)-(x-a)|=|(x-a)(x+a-1)|=

|x-a||x+a-1|<|x+a-1|<|x|+|a|+1<|a|+1+|a|+1=2(|a|+1),

即

|f(x)-f(a)|<2(|a|+1)．

评注 这是绝对值和函数的综合题，此类题通常要运用绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识来解决．分析中对条件|x-a|<1的使用有3种选择，解题时要结合求证，灵活选用．

考点7 绝对值不等式与平面向量的综合应用

例8 设平面向量a,b满足|a|=1，|b|=2，若平面向量c满足|c-(a+b)|=|a-b|，则|c|的最大值为______．

评注 解决绝对值不等式与平面向量的综合应用问题，主要有3个工具：1)已知平面向量a,b，4a·b=(a+b)2+(a-b)2；2)设m=a+b，n=a-b，|m|2+|n|2=2(|a|2+|b|2),即平行四边形2条对角线平方和等于其4条边长平方之和；3)三角形不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|．

4 精题集萃

1.设a，b是向量，则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的

( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2.若a,b为实数，则下列命题中正确的是

( )

A．a>b⟹a2>b2B．a≠b⟹a2≠b2C．|a|>b⟹a2>b2D．a>|b|⟹a2>b2

3.若a>0，b>0,且a+b=4，则下列不等式恒成立的是

( )

8.已知向量a=(cosα,sinα)，b=(cosβ,sinβ)，其中0<α<β<π．

2)设c=(0,1)，若a+b=c，求α,β的值．

9.已知a,b,c∈R，对任意实数x均有|ax2+bx+c|≥|x2-3x+2|，求|b2-4ac|的最小值．

10．设函数f(x)=|x-1|+|x-a|．

1)若a=-1，解不等式f(x)≥3；

2)如果对任意x∈R,f(x)≥2,求a的范围．

参 考 答 案

1.D 2.D 3.D 4.6 5.直角三角形

6.a=0,b=4 7.-2

8.1)证明 由|a+b|2=2得

a2+b2+2a·b=2.

因为|a|2=|b|2=1，所以a·b=0，即a⊥b．

2)解 因为a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(0,1)，所以

cosα+cosβ=0, sinα+sinβ=1,

9.解 不妨令a>0.

1)当b2-4ac>0时，ax2+bx+c与x2-3x+2有相同的零点，即

b=-3a,c=2a,

此时，要使得|ax2+bx+c|≥|x2-3x+2|恒成立，只需a≥1，即

|b2-4ac|=a2≥1.

2)当b2-4ac=0时，画出图像可知该情况不成立；

3)当b2-4ac<0时，只需保证y=ax2+bx+c同时在y=x2-3x+2与y=-x2+3x-2的上方即可，即

恒成立,即

2个式子相加得|b2-4ac|≥5．

综上可知，|b2-4ac|的最小值为1．

10．解 1)当a=-1时，

f(x)=|x-1|+|x+1|,

由f(x)≥3得

f(x)=|x-1|+|x+1|≥3,

即

|(x-1)+(x+1)|≥3,

或

|(x-1)-(x+1)|≥3,

解得

故不等式f(x)≥3的解集为

2)由f(x)≥2得

|x-1|+|x-a|≥2，

即

|(x-1)+(x-a)|≥2

或

|(x-1)-(x-a)|≥2，

即

|2x-(a+1)|≥2或|a-1|≥2.

因为对任意x∈R,f(x)≥2恒成立，所以|a-1|≥2成立，解得a≤-1或a≥3,故a的取值范围为

(-∞,-1]∪[3,+∞)．

2016-12-06；

2016-12-30作者简介：张宗余(1976-)，男，浙江象山人，中学高级教师.研究方向：数学教育.

O123

A

1003-6407(2017)02-26-07