函数与导数复习专题

●李金兴 (萧山中学 浙江杭州 311201) ●许兴铭 (萧山区教学研究室 浙江杭州 311201)

函数与导数复习专题

●李金兴 (萧山中学 浙江杭州 311201) ●许兴铭 (萧山区教学研究室 浙江杭州 311201)

函数部分高考内容包括函数的概念与表示、图像与性质、基本初等函数、函数应用、导数及应用等.解函数题需要能熟练应用数形结合、分类讨论、化归转化等思想方法，函数综合问题涉及方程、不等式等，抽象或构造函数模型解题也是能力立意的一类问题.

函数;导数;高考复习

1 知识内容

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，贯穿了整个高中阶段的数学学习，历来是高考的重点内容之一，导数及其应用深化和提高了函数的学习与研究.2017年浙江省数学高考函数与导数内容包括：1)函数、映射的概念与函数的表示方法；2)函数性质(单调性、奇偶性、最值等)；3)基本初等函数Ⅰ(指数函数、对数函数、幂函数)；4)函数与方程之间的关系；5)函数的简单应用；6)导数的概念与几何意义；7)导数的运算(基本初等函数的导数公式和运算法则)；8)利用导数求函数的单调性、极值、最值.

2 命题分析

从映射角度认识函数是高中数学的基本要求，但在具体情景中去识别函数表示仍有一定难度(如复合函数、抽象函数等).函数性质还包括周期性、图像的特性等，对函数图像与性质的研究不限于基本初等函数(如三角函数、四则运算后的函数等)，导数在研究函数图像与性质时理应成为犀利的工具.函数的应用不仅是建立函数模型来研究生活情景中的问题，也往往与其他数学内容(如方程、不等式、数列、几何)综合起来.与前几年考试说明相比，“掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法”是新的要求.

3 典例剖析

3.1 函数概念与表示

( )

分析 没必要将复合函数y=f(f(x))和y=2f(x)分别分段表示出来，可通过换元来简化函数表示.先考虑方程f(t)=2t的定义域为t∈[1,+∞)，从而易得答案选C.

例2 已知定义域为R的函数f(x)满足f[f(x)-x2+x]=f(x)-x2+x.

1)若f(2)=3，求f(1)；又若f(0)=a，求f(a).

2)设有且只有1个实数x0使得f(x0)=x0，求f(x)的解析式.

分析 用赋值法尝试探究抽象函数.第1)小题，当f(2)=3时，令x=2即得f(1)=1，同理当f(0)=a时，f(a)=a.第2)小题由方程f(x)=x解的唯一性知f(x)-x2+x=x0，令x=x0，解得x0=0或x0=1，检验得x0=1，于是

f(x)=x2-x+1.

3.2 函数的图像

例3 下列关于函数f(x)=sinx+x图像的描述错误的是

( )

A.图像关于原点对称

B.图像对称中心有无数个

C.图像有平行于y轴的对称轴

D.图像与x轴只有1个交点

图1

分析 图像特征实质上是函数性质的直观显示.因为f(x)是R上单调递增的奇函数，所以选项A,D一定正确，选项C一定错误；选项B有较强的迷惑性，画出草图(如图1所示)可知选项B正确.值得一提的是，该函数图像尽管有无数多个对称中心，但它不是周期函数.

①对于任意不相等的实数x1,x2，都有m>0；

②对于任意的a及任意不相等的实数x1,x2，都有n>0；

③对于任意的a，存在不相等的实数x1,x2，使得m=n；

④对于任意的a，存在不相等的实数x1,x2，使得m=-n.

其中的真命题有______(写出所有真命题的序号).

分析m,n的几何意义是连接函数图像上2个点的直线斜率.因为f(x)是增函数，所以命题①显然正确，而命题②显然错误.而仅凭图像直观很难对命题③和命题④作明确的判断，需要将问题进行转化.

m=n等价于

f(x1)-f(x2)=g(x1)-g(x2)，

即

f(x1)-g(x1)=f(x2)-g(x2).

令h(x)=f(x)-g(x)=2x-x2-ax，则

h′(x)=2xln2-2x-a,

而对于任意的a,函数h′(x)未必有零点，因此h(x)可能是单调函数，命题③可能不成立.

m=-n等价于

f(x1)+g(x1)=f(x2)+g(x2)，

令h(x)=f(x)+g(x)=2x+x2+ax，则

h′(x)=2xln2+2x+a，

易知h(x)一定有极值点，因此命题④成立.故命题①和命题④是真命题.

3.3 函数性质

例5 定义在R上的奇函数f(x)在(-∞,+∞)上递增，若xf(x)-yf(y)>0，那么下列结论中正确的是

( )

A.f(x)f(y)

C.f(|x|)f(|y|)

分析 本题综合了函数的单调性和奇偶性，还要用到数形结合的思想方法.构造偶函数g(x)=xf(x)，而g(x)在(0,+∞)上递增，由g(x)>g(y)得到|x|>|y|；又f(x)在R上递增，因此f(|x|)>f(|y|).故选D.

例6 设f(x),g(x),h(x)是定义域为R的3个函数，对于命题：①若f(x)+g(x),f(x)+h(x),g(x)+h(x)均为增函数，则f(x),g(x),h(x)中至少有1个是增函数；②若f(x)+g(x),f(x)+h(x),g(x)+h(x)均是以T为周期的函数，则f(x),g(x),h(x)均是以T为周期的函数.下列判断正确的是

( )

A.①和②均为真命题

B.①和②均为假命题

C.①为真命题，②为假命题

D.①为假命题，②为真命题

分析 本题考查抽象函数单调性和周期性的一般结论.设F(x)=f(x)+g(x),G(x)=f(x)+h(x),H(x)=g(x)+h(x),则

尽管f(x),g(x),h(x)中没有增函数，但它们中任意2个相加均得到增函数，从而命题①的逆否命题是假命题，于是①为假命题.故选D.

3.4 指数函数和对数函数

( )

由单调性易知选项B正确.

例8 若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2(x-1)=5，则x1+x2=

( )

3.5 函数与方程

例9 设f(x)=x2+bx+c(其中b,c∈R),A={x|x=f(x),x∈R},B={x|f(f(x))=x,x∈R},如果A中只含有1个元素,则

( )

A.ABB.BAC.A=BD.A∩B=φ

分析 二次函数的零点式为解决本题带来了便利.显然A⊆B，设A中的元素为t，则

f(x)-x=(x-t)2，

从而

f(x)=(x-t)2+x，

于是方程f(f(x))-x=0可化为

(x-t)2[(x-t+1)2+1]=0，

因此方程只有1个解t，即A=B.故选C.

例10 若二次函数f(x)=ax2+(2b+1)x-a-2(其中a,b∈R,a≠0)在区间[3,4]上至少有1个零点，求a2+b2的最小值.

分析 若先讨论二次方程ax2+(2b+1)x-a-2=0在区间[3,4]上的实根分布得到关于(a,b)的约束条件，再用几何意义求a2+b2的最小值，则过程很繁琐.

本题可变更主元，转化为存在t∈[3,4]使得关于a,b的二元方程(t2-1)a+2tb+t-2=0有解，将点P(a,b)看作直线(t2-1)x+2ty+t-2=0上的动点，则

即

因为t-2∈[1,2]，所以

从而

3.6 导数的概念与运算

例11 金属圆盘受热膨胀，面积以π cm2/s的速度增长，求半径等于50 cm时半径的增长速度.

分析 导数的意义是瞬时变化率，除切线的斜率外，还应了解物理情景中的意义.本题中设t时刻，金属圆盘的面积为S(t),半径为r(t),由S(t)=πr2(t),得

S′(t)=2πr(t)·r′(t)=π，

当r(t)=50时，

例12 设函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，且2f(x)+xf′(x)>x2，则下面的不等式在R内恒成立的是

( )

A.f(x)>0 B.f(x)<0

C.f(x)>xD.f(x)

分析 本题不仅考查导数运算法则，还需要根据导数特征构造原函数.因为当x>0时，

2xf(x)+x2f′(x)>x3>0,

即y=x2f(x)在(0,+∞)上递增；同理可得，y=x2f(x)在(-∞,0)上递减，从而f(x)≥f(0).而在2f(x)+xf′(x)>x2中,令x=0可得f(0)>0.故选A.

3.7 函数综合应用

例13 某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y=ekx+b(其中e=2.718…为自然对数的底数，k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是______小时.

分析 本题是函数应用题，利用条件可求出参数k,b，但在运算时利用整体代换可不必求出2个参数，使问题大大简化.由题意知

从而

当x=33时，

例14 设函数f(x)=ax+bx-cx,其中c>a>0,c>b>0.若a,b,c是△ABC的3条边长，①对任意x∈(-∞,1)都有f(x)>0；②存在x∈R，使得ax,bx,cx不能构成一个三角形的3条边长；③若△ABC为钝角三角形，则存在x∈(1,2)，使得f(x)=0，则上述结论正确的是______(写出所有正确结论的序号).

分析 本题是用函数方法研究不等式问题，而且要将问题转化后重新构建函数来研究.因为

故结论①正确.

因为当x取足够大正数时,g(x)<1，此时

ax+bx

所以结论②正确.

又因为当△ABC为钝角三角形时g(1)>1,g(2)<1，所以存在x∈(1,2),使得g(x)=1，即f(x)=0，故结论③正确.

例15 已知函数f(x)=lnx+ax2+bx(其中a≤0).

1)若2a+b+1=0，讨论函数的单调性；

分析 第1)小题将b=-2a-1代入得

而a≤0，于是当x∈(0,1)时，f′(x)>0，当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，因此f(x)在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减.

尝试用数学归纳法证明第2)小题，由假设当n=k时结论成立推证当n=k+1时结论也成立的过程知，要证不等式

只要证

从而只要证当x>1时，lnx

让k取遍1,2,3,…,n，相加即得

进一步探究可得如下结论：

1)当x>1时，

lnx

让k取遍0,1,2,3,…,n-1，相加即得

ln(n+1)(其中n∈N*).

让k取遍0,1,2,…,n-1，相加即得

(其中n∈N*),此乃2010年湖北省数学高考理科试题第21题第3)小题的结论.

4 精题集萃

( )

A.0 B.mC.2mD.4m

2.已知集合U={(x,y)|x∈R,y∈R}，M={(x,y)||x|+|y|

( )

A.①②③④ B.①②④ C.①② D.④

3.设函数ht(x)=3tx-2t2，若有且仅有1个正实数x0，使得h6(x0)≥ht(x0)对任意的正数t都成立，则x0=

( )

A．5 B．6 C．7 D．8

5.R上的偶函数f(x)，当x≥0时，f(x)=2x.若对任意x∈[a,a+2]，不等式f(x+a)≥f2(x)恒成立，则a∈______.

6.设a,b∈R，若当x≥0时，恒有0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2，则ab=______.

1)若a=-2，求b的取值范围使函数h(x)=f(x)-g(x)在其定义域上单调递增.

2)设函数y=f(x)的图像C1与函数y=g(x)的图像C2交于点P,Q，过PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1,C2于点M,N.问：是否存在这样的点R,使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行?

10.已知a>0,b∈R，函数f(x)=4ax3-2bx-a+b．

1)证明：当0≤x≤1时，①函数f(x)的最大值为|2a-b|+a；②f(x)+|2a-b|+a≥0.

2)若-1≤f(x)≤1对x∈[0,1]恒成立，求a+b的取值范围.

(2012年浙江省数学高考理科试题第21题)

参 考 答 案

(1)

而

式(2)-式(3)，得

由式(1)和式(4)得

即g(t)=(t+1)lnt-2(t-1)在(0,1)上有零点.但当00，从而g(t)在区间(0,1)上单调递增，于是

g(t)

即g(t)在(0,1)上没有零点.

因此，假设错误,即不存在这样的点R，使C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行.

10.1)略.2)(-1,3].

2016-12-06；

2016-12-30作者简介：李金兴(1973-)，男，浙江杭州人，中学高级教师.研究方向：数学教育.

O122.1

A

1003-6407(2017)02-33-05