把课堂还给学生——基于一堂数列求和复习课的课例探讨

●王震乾 王春飞(四明中学 浙江宁波 315040)

把课堂还给学生
——基于一堂数列求和复习课的课例探讨

●王震乾 王春飞(四明中学 浙江宁波 315040)

课堂教学中，教师如何改变学生被动学习的状态，这一直是高中数学教学努力的方向.文章以一堂数列求和复习课为例，探索如何把课堂还给学生，让学生有机会自己创造课堂学习内容，并开展较有深度的数学学习.

编题；问题链；数列求和

“教学是一种文化实践.”[1]受到外在应试环境的影响，高中数学教学改革变得尤其困难，教师主动教、学生被动学的现象仍然较为普遍[2].为了改变高中生这种被动学习的状态，笔者所在学校数学组尝试通过“问题链”驱动学生进行深入的数学思考[3]，而让学生编题是其中复习课改革中的一项重要措施.有研究已指出，编题活动能有效地促进学生思维品质的发展[4].

1 编题教学的基本原则

1.1 基于数学结构的编题思路

通过最基本的加减乘除四则运算、变形代换、归纳猜想，结合数学结构展开编题，可以将等差数列、等比数列相加减或相乘除得到相应的新数列，进而研究求和方法.也可以猜想数列的形式进而讨论能否求和，进一步探索、归纳一般的求和方法.

1.2 预设先行的编题教学

在有限的教学时间内，学生的编题需要聚焦在核心问题上，因此不是完全自由的编题，教师课前需要有预设、课中需要有引导，这也是出于对课堂现实的考虑.笔者在本文中提到的二次教学就是根据学生的学情，在课堂教学之前先进行分组，发挥集体的力量进行编题.

1.3 学生参与式的编题评价

主要体现在学生解释编题思路、学生互做自编题目等方面.笔者希望通过学生自己编好题目并由学生自行解答，进而归纳出数列求和的常规方法，由特殊到一般.

编题教学是一个循环的过程，即从课堂中教师给出的一个起点性问题出发，过渡到学生自行组合编题，再转到学生自行解题、总结方法，目的在于培养学生的逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算等方面的核心素养.

2 关于“数列求和”类型编题的二次教学

2.1 第一次教学设计的问题链

问题1 已知等差数列{an}中，a1=2，d≠0，且a1,a3,a7成等比.

1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；

2)若数列{bn}成等比，且b1=a1，b2=a3,求数列{bn}的通项公式及前n项和Tn.

问题1的设计目的在于回顾等差数列和等比数列求和公式，作为复习课的导入背景.该起点性问题旨在由易到难，激发学生探索学习的积极性.

问题2 你能把上面的数列通过某些变化、组合等，编写一个新的数列吗？

问题2-1 若取出这2个数列，它们之间可以组成怎样的新数列呢？

问题2-2 若取出其中1个数列，通过某些变化是否可以组成新的数列呢？

问题2的设计目的在于让学生真正进行自我编题，利用学生比较熟悉的加减乘除运算入手构造新数列，进而引出各种我们所熟悉的可以求和的数列，层层递进，环环相扣，进而达到编题的效果.

问题3 展示学生编好的题目，并判断哪些数列利用现有知识可以求和，哪些数列无法求和？

问题3-1 刚刚已得到了这些可以求和的数列，你能运用什么方法对所构造的数列进行求和？

问题3-2 根据大家已经求得的数列之和，能否概括其一般的求和方法？

问题3的设计旨在考查学生数学建模的核心素养能力，引导学生掌握编题的原则，真正掌握用不同的方法对不同类型的数列进行求和，提升学生的逻辑思维能力.

2.2 第一次教学实施过程中的经验与问题

在第一次教学实施过程中值得借鉴的经验有：

1)走出了课堂实践的第一步，把课堂真正还给学生，避免了课堂教学满堂灌的模式.在课堂中给学生充分思考的空间,让学生主动参与到课堂教学中来.

2)学生运用2个数列之间的变化得到新的数列明显好于对某一个数列变换成新的数列,具体体现在学生能运用2个数列相加得到分组求和法,运用2个数列相乘得到错位相减法.

由于设计问题时没有全面考虑到学情，尤其未能考虑到学生对于这种发散性问题的把握能力不足，造成课堂中也出现了一些问题：

1)学生在起点性问题上所花时间过长，造成课堂教学时间来不及.而且，起点性问题并非本堂课的重点内容，应该为后面学生自我编题提供更多的时间.

2)在问题2-1中，大部分学生能用2个数列相加、相乘产生新的数列，但没有考虑2个数列相减、相除构成的新数列.学生不能运用四则运算统一归纳、分组求和，不会用错位相减法求和.学生在错位相减法求和过程中对方法的运用一知半解.在问题2-2中，学生也很难通过某一个数列取倒数、平方等方式构造新数列.

3)课堂中师生间的交流、学生思维的展示时间太少.

2.3 第二次教学设计的问题链

问题1 已知2个数列的通项公式分别为：an=n+1和bn=2n,求数列{an}的前n项和Sn和数列{bn}的前n项和Tn.

学生能非常快速地发现这2个数列分别是等差数列和等比数列，并得到了数列的前n项和.

问题2 刚才求出了等差数列和等比数列的前n项和，然而实际上，许多数列既不是等差数列也不是等比数列.在求这些数列的前n项和时，我们会尝试把它拆分、转化成等差数列、等比数列等常见的数列形式.现在反过来研究这种思路，对于问题1中的2个特殊数列，你能以这2个数列为基础，通过四则运算重新组合、构造出新数列，并尝试解决它吗？

在上课之前，笔者事先把班级学生分成了5个小组，并确定了小组长.课堂上，给学生8分钟时间小组合作构造新数列，然后汇报并对表现出色的小组进行相应的奖励.在学生编题前还给了一些提示与引导，比如可以使用四则运算、取倒数、取对数等方式构造出新的数列，同时也给出一个构造新数列的示例：1){cn}:cn=an+bn.

编题过程中，学生讨论很热烈，并一起努力解决所提出的问题.8分钟时间很快过去了，笔者发现有几组学生编写出许多新的数列.于是笔者邀请组长把本组构造的新数列通项展示在黑板上.

问题3 刚才我们一起构造了10个新的数列，能试试怎么来求这些数列的前n项和吗？

由于时间限制，教师与学生一起作了初步的讨论，发现第7)和第8)这2个数列较为复杂，且超出了学生的能力范围，因此暂时搁置，课堂上把讨论的重点放在了另外8个数列上.

问题3-1 把以上数列化简后，请大家判断哪些数列可以用等差或者等比数列知识直接解决？

大家发现第9)个数列的通项可以化为：cn=n+n+1=2n+1，其实是一个等差数列.

问题3-2 再对剩余的数列进行化简，能否从求和方法的角度进行归类？

学生开始解决上述问题，并在讨论中应用了已学过的4种求和方法：

方法1 (裂项相消法)

Sn=c1+c2+c3+…+cn-1+cn=

方法2 (错位相减法)

2)因为cn=an·bn=(n+1)·2n,所以

Sn=2·21+3·22+…+n·2n-1+(n+1)·2n,

2Sn=2·22+3·23+…+n·2n+(n+1)·2n+1,

2个式子相减，得

4+2n+1-4-(n+1)·2n+1=

-n·2n+1,

从而

Sn=n·2n+1.

第5)个数列与第2)个数列类似，解答略.

方法3 (分组求和法)

1)由cn=an+bn=(n+1)+2n,得

Sn=c1+c2+c3+…+cn=

第4)个数列与第1)个数列方法类似.

方法4 (通项化归法)

3)由cn=b1+b2+b3+…+bn=2n+1-2,得

Sn=c1+c2+c3+…+cn=

(22-2)+(23-2)+(24-2)+…+

(2n+1-2)=

(22+23+24+…+2n+1)-2n=

在学习上述4种方法之后，师生进一步总结、回顾这些方法的特点及应用时需要注意的方面.

本堂课首先从最基本的等差数列和等比数列入手，编写了一些既不是等差也不是等比的数列，并求这些新数列的前n项和.在解决具体问题的过程中，把新问题转化为学生所熟悉的等差数列、等比数列或是熟悉的数列进行求和.

第二次教学实施下来，笔者感受最深的是学生学得很快乐、轻松.虽然给学生较充足的自我发挥时间和空间导致有些拖堂，但是这堂课让笔者和学生在课堂中既欢快又有意义.编题过程主要是由学生自己完成，培养了他们自我探索、自我思考的能力；解题也是由学生自己探索完成，教师只是与学生一起对方法进行了概括和总结.这也是笔者设计并实施本堂课的主要目的.

3 反思

通过问题链的形式让学生进行自主编题，走出了课堂教学的旧模式，把课堂真正还给学生，让他们快乐地思考、解题，徜徉在知识的海洋之中.同时，学生通过自行编题、解题、总结，在已有的基础上掌握了数列求和的基本方法，真正做到了识题、解题.另外，在学生编题和解题过程中如果能更多地使用信息技术，把学生做的题目直接呈现在黑板上，让他们自己发现问题，那么教师的讲解效果会更好.

编题活动变教师“讲”为学生“想”，使学生在创造中体会成功的喜悦,从而激发兴趣，调动学生学习的积极性，还能够促进师生间思维的相互发展,督促教师深钻教材，达到教学相长的效果.因为编题活动不同于以往“教师讲学生听”,而是教师讲学生也讲[4]，在复习课中采用学生编题有利于更好地开展教学.

[1] Stigler J W,Hiebert J.The teaching gap[M].New York:Free Press,1999.

[2] 吴颖康.“未来十年中国数学教育展望”学术研讨会纪要[J].数学教学,2013(7):封二-3;24.

[3] 吴丹红,唐恒钧.基于问题链的“函数单调性”教学探索[J].中学教研(数学),2016(5):7-9.

[4] 曹瑞珍.编题活动促进学生思维品质的发展[J].心理发展与教育,1990(4):207-210.

2016-10-08；

2016-11-22作者简介：王震乾(1979-),男，浙江宁波人，中学一级教师.研究方向：数学教育.

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1003-6407(2017)02-01-03