数形结合思想方法

●张春杰 (学军中学 浙江杭州 310012)

数形结合思想方法

●张春杰 (学军中学 浙江杭州 310012)

数形结合思想是数和形的完美统一，也是最能体现数学美感的数学思想.数形结合思想在高考中属于重点考查范畴.文章通过分析典型范例，引导学生如何从数中寻找形，也就是挖掘题目最本质的背景，再对形进行定量的分析，体现数学严谨入微的分析思想.

数形结合;形由数生;数来析形

1 知识内容

数形结合思想是高中阶段非常重要的思想方法.正如华罗庚先生所说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合把基本知识和基本图形有效地结合起来，能有效考查学生的核心数学素养.数形结合思想一般包含2个维度：

1)形由数生.图形的构造不是凭空的，是在分析题意的基础上生成的,使问题直观化.

2)数来析形.数学是严谨的，在从图形中寻找到问题的突破口之后，需要严谨的代数分析，使问题严谨化.

2 命题分析

近3年的浙江省数学高考试卷呈现2个重要特点：首先是强调了几何背景下的代数叙述，解决问题需要回到最原始的几何背景中寻找思路，这是最能凸显本质的解决方法；其次是重点考查数形结合思想的掌握程度.比如，2016年浙江省数学高考理科卷的第3，6，7，14，15，19题和2016年浙江省数学高考文科卷的第3，4，8，13～15，19题都是和数形结合思想密切相关的高考题.从《2017年浙江考试说明》来分析，数形结合思想仍是考查的重点和热点.

图1

3 典题剖析

S△PAD=S△PAE=S△PDE.

不妨将此面积记为6,则

S△PAB=3,S△PAC=2,S△PBC=1,

即

S△ABC=S△PAB+S△PAC+S△PBC=6,

故

S△ABC∶S△PAC=6∶ 2=3.

评注 本题的关键在于形的迁移和转变，从△ABC迁移到△ADE，从而让点P从一个不熟悉的位置迁移为△ADE的重心.“从不熟悉到熟悉，从一般到特殊”是本题的点睛之笔，为本题的顺利解决迈出了关键一步.接下来就是简单的代数运算.

图2

评注 求解本题的关键在于图形的分析，尤其是注意到开区间的因素,不过，从图2很容易得出取得最大值的条件.

例3 若向量a,b满足|b|=3，|a|=2|b-a|，求|a|的取值范围.

图3

评注 几何背景下的向量问题是浙江省数学高考命题的特色之一.本题体现了这一命题思路，没有繁杂的语言叙述，寥寥几笔就把几何背景的代数形式交代清楚了.

图4 图5

评注 解析几何中的存在性问题一直是高考的热点和难点.本题就是抓住问题的本质，转化为学生比较熟悉的直线与圆的关系问题.

例5 已知函数f(x)=2x2ex与g(x)=3xex+a的图像有且只有2个公共点，求实数a的取值范围.

解 由2x2ex=3xex+a，可知

a=h(x)=2x2ex-3xex=x(2x-3)ex,

从而

h′(x)=(2x2+x-3)ex.

评注 把函数的交点问题转化为方程问题，再从方程问题转化为函数问题，利用函数的图像，很容易找到解决问题的方法.

图6 图7

评注 恒成立问题也是各种层次考试重点考查的内容.本题的突破口在于形的构建和数的分析，紧紧抓住这一突破口，再分类讨论，水到渠成.

4 精题集萃

1.已知互相垂直的平面α,β相交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则

( )

A．m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n

( )

( )

8.设关于x的方程x2-ax-1=0和x2-x-2a=0的实数根分别为x1,x2和x3,x4，若x1

9.已知函数f(x)=mx|x-1|-|x|+1,试讨论函数f(x)的零点个数.

参 考 答 案

8.解 由x2-ax-1=0可知

由x2-x-2a=0可知

9.解 首先x=1为其中一个零点.令f(x)=0,则

10.解 假设有4个交点，不妨设椭圆的左侧有2个交点P，Q，其中直线AP的斜率为k1,直线AQ的斜率为k2,则

化简可知

故

2016-12-22；

2017-01-10基金项目：浙江省杭州市教育科研立项课题(14G1410)作者简介：张春杰(1974-)，男，河南潢川人，中学高级教师.研究方向：竞赛数学和创新人才培养模式.

O123.1

A

1003-6407(2017)02-23-03