数学教学中化归思想的渗透

张 昕，周亚萍

（江苏省泰兴市实验初级中学，江苏泰州 225400；江苏省泰兴市济川初级中学，江苏泰州 225400）

引 言

一元二次方程是初中教学重难点。化归思想方法是中学基本教学思想，中学教学几乎全部渗透着这种思想，由未知向已知转变，从特殊向一般转化，将复杂问题简单化，把高次转向低次化，多元趋向一元，以上均是化归思想的具体体现。另外，中学数学采用化归思想多次分析、解决问题，然而，所有数学问题的解决都要 “转化与化归”。平常基础知识及解题教学都离不开化归思想。本文以一元二次方程教学案例为切入点，在案例教学中着重论述化归思想，把知识间的相关联系阐述得十分清晰，指引着新知识及方法的应用。其中，选用的教学案例为北师大七年级上册。

一、初中阶段学生特征

初中阶段学生年龄多集中于12岁至16岁，是人生阶段的少年期，初中三年的学习是一段短暂的时间。身心急剧变化，自我意识显现，具有强烈的独立自主意识，是该阶段青少年表现出的主要特征。青少年认知思维更加抽象，倾向概括及逻辑方向已经具备了极强的迁移能力。此外，青少年对观念、原则等掌握更加迅速，教学应尽可能刺激青少年，让他们掌握新的知识方法，发现并解决问题，获得成功的喜悦及满足感。

二、初中数学课堂教学中化归思想的全面渗透一元二次方程

1.情境中融入“化归”

为了更好地表现新课程理念及活动主题，笔者将教学内容重点放在教学内容理解及教学知识内在联系上，渗透教学思想。

问题一，如果正方形的面积为8，则正方形的边长为多少？问题二，如果长度为10m的梯子斜靠在一面墙上，梯子顶端距离地面的垂直间距为8m，假如梯子顶端向下移动2m，那么梯子的底端滑行了多长距离？

分析：在以上两个问题情境中，前一个问题用到了特殊一元二次方程的求解，后一个问题用到了常规一元二次方程求解，首先需要求解的是梯子底端和墙角的间距，应用了特殊一元二次方程开方求解的方式，对于梯子底端究竟滑了多少米，需要借助一般一元二次方程求解，其包含了一元二次方程化归的思想，此种情境教学渗透了数学化归思想。情景的创设为学生提供思想的空间，使学生借助化归思想解决一元二次方程式，调动了学生的学习兴趣，活跃了课堂氛围，提高了课堂教学效果。

2.方程形式中体现“化归”

问题三，是否会求解以下一元二次方程？采用了何种方法？（1）x2=8；（2）2x2=0；（3）x2-4=0；（4）4x2-32=0；（5）（x+4）6=36；（6）（x-6）5=10。上述各题的求解均用到了两边直接开方的形式，这种求解一元二次方程的方法称之为直接开平方法。

问题四，如何求解方程式x2+10x-20=0？

分析：第三个问题的前两个问题的求解方式为直接开方；中间两个小题通过转化转变成可以开方的形式；最后两个小题完全为开平方形式，可通过开平方的形式求解问题。尽管上述问题均直接使用了开平方法，然而，透过方程本身，体现的是化归思想。尤其是第四个问题求解就以化归思想为指导，然后做出分析。化归思想应用到一元二次方程中，将抽象的问题具体化，以一元二次方程式为平台，完成一元二次方程式的求解任务，使化归思想动态有效。学生不仅了解到一元二次方程如何应用到几何图形的求解中，而且对化归思想有了更加深入的了解，更认可这种解题思想。

3.问题探究中凸显“化归”

问题五，将适当的数字填进下述公式，要求等式两边成立。x2+10x+_=（x+5）2。

问题六，判断以下方程可否通过开方形式求解，怎样求解？（1）x2-6x+2=4；（2）x2+5x+30=10。

问题五是让学生掌握配方的方法。问题六是引导学生完成配方的方法，求解一元二次方程，从中掌握此类配方方法。

分析：以化归思想为指导，通过配方的形式转变一般一元二次方程为完全平方形式，进而通过开方的形式解决此类问题，这是解决此类问题的关键点。在教学设计中，化归思想是问题深入研究的重点。

问题七，我们已经能够通过直接开方的形式解决一般一元二次方程，如2x2=b(b＞0)，但是现在可否求解方程3x2+qx+p=0？

问题八，配方法和直接开平方法之间的联系和区别？

分析：基于配方法引出问题，指引学生从直接开平方到配方法。对于一般问题的解决，渗透了化归思想，让学生深刻了解到，化归思想起连接一般方程和特殊方程的桥梁作用，这种思想可普遍应用于一般问题的解决，意义重大。化归思想应用于问题分析中，为学生分析问题提供了指导，将复杂的问题简单化，特殊的形式一般化，问题的分析及解决更加容易，学生不仅掌握解决问题的指导方法，而且还对化归思想的印象更加深刻。

4.方法应用中表现“化归”

问题九，如有一块长度为40m、宽度为30m的矩形地面，于地面上修建了同样宽度且相互垂直的两条道路，其余部分种植花，如果要使剩余部分面积为900m2，要求道路宽度？

方法一，建设道路宽度为xm，便有方程：

40x+30x-x2=40×30-900。

方法二，假设道路宽为xm，以平移的方式把相互垂直的两条道路移动到矩形两侧，因为剩余部分面积未发生变动，可得到如下方程：

（40-x)(30-x）=900。

分析：方法二突出了复杂问题向简单问题转化的思想，让学生感受到化归思想的普及性及实用性。化归思想应用于方法，以普遍适用性解决了一元二次方程类似问题。

5.配方法几何意义中暗含“化归”

问题十，如下方程：x2+4x-40=0可通过建图的方式求解，假设边长为2x+4的正方形，其中各边长划分为x+4，x两部分，从各边分界点出发引垂线，于内部构成了一个小正形。其中大正方形面积为（2x+4）2，各矩形面积为x（x+4）=x2+4x=40，因为中间小正方形面积为16，所以可得到如下公式：(2x+4）2=40×16+16，也即是（2x+4）2=656。

分析：配方中包含的几何意义及一元二次方程的几何求解法，渗透了几何和代数化归思想的转化；也包含了利用配方方式把一般一元二次方程化归成特殊一元二次方程。此外，图形之中也包含了化归思想。

结 语

以上仅是化归思想的一些教学案例。化归思想普遍应用于数学学习及一般问题解决中，我们要抓住问题解决对象，以化归思想为指导，让化归思想在初中数学教学中更好地发挥作用。强化数学教学方法是现代教育的基础，也是关键。化归思想是数学教学中一项基本、重要的方法，在教学中的地位十分重要。本文以初中数学教学案例为切入点，分析化归思想于其中的应用，结合初中学生认知特征及该阶段教材实际，系统全面地分析了化归思想在具体教学中的实际运用，文章研究重点及创新点也在于此。化归思想的掌握不是单纯依靠一节课便能解决，需要付诸于长期实践，在教学中不断观察，逐步进步，因为研究内容的限制，其中经验论述未免有些缺陷，也是本次研究难点之一，以期后续研究者在该方面继续努力，在具体教学实践中进一步完善。

[1]严君华.浅谈初中数学课堂教学中化归思想的渗透策略[J].数学教学通讯，2014（07）.