对一道求三角形内角平分线夹角题的探究

巨明杰+李红红

一、问题的提出

《义务教育数学课程标准》明确提出了学生要理解三角形角平分线的含义，探索并证明三角形、多边形的内角和。笔者在现行华东师大版七年级数学下册第九章“三角形”的教学中，发现教材、教辅无不涉及“已知三角形的一个内角，求另两个内角角平分线夹角”的问题。

如图1所示，在△ABC中，∠A=α，点O是∠ABC与∠ACB的平分线BF和CE的交点，求∠BOC.

解∵BF和CE分别是∠ABC与∠ACB的平分线，

∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB.

∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠α）=90°-∠α.

∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（90°-∠α）=90°+∠α.

该题是在已知三角形一个内角的情况下，求出了另两个内角平分线的夹角。我们逐步引导学生将求两内角平分线的夹角改为一内一外角或两外角角平分线的夹角；或将三角形改为多边形的情况作了深入探究，发现了其中的规律，激发了学生的学习兴趣，在教学中收到了较好的效果。现介绍如下，仅供同仁们参考。

二、问题的探究

1.将内角平分线改为外角平分线

情形一：求三角形的一条内角平分线与一条外角平分线的夹角

如图2，在△ABC中，∠A=α，点O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，求∠BOC.

解∵BO和CO分别是∠ABC与∠ACD的平分线，

∴∠OBC=∠ABC，∠OCD=∠ACD.

∵2∠OCD=2∠OBC+∠α，

∴2（∠OCD-∠OBC）=∠α.

又∵∠BOC=∠OCD-∠OBC，即2∠BOC=∠α.

∴∠BOC=∠α.

情形二：求三角形的两条外角平分线的夹角

如图3，在△ABC中，∠A=α，点O是三角形两外角∠DBC与∠ECB的平分线BO和CO的交点，求∠BOC.

解∵BO和CO分别是∠DBC与∠ECB的平分线，

∴∠OBC=∠DBC，∠OCB=∠ECB

∵2（∠OBC+∠OCB）=360°-（180°-∠α），

又∵∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB），

∴2（180°-∠BOC）=180°+∠α，

∴2∠BOC=180°-∠α.∴∠BOC=90°-∠α.

2.将三角形改为多边形

（1）四边形的情形

情形一：如图4，在四边形ABCD中，点O是两内角∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，证明：∠BOC=（∠A+∠D）.

证明∵BO和CO分别是∠ABC与∠DCB的角平分线，

∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠DCB.

∴2（∠OBC+∠OCB）=360°-（∠A+∠D）.

∴2（180°-∠BOC）=360°-（∠A+∠D），

∴360°-2∠BOC=360°-（∠A+∠D），∴∠BOC=（∠A+∠D）

情形二：如图5，在四边形ABCD中，点O是内角∠ABC与外角∠DCE平分线BO和CO的交点，证明：∠BOC=（∠A+∠D）-90°.

证明∵BO和CO分别是∠ABC与∠DCE的角平分线，

∴∠OBC=∠ABC，∠OCE=∠DCE.

180°-∠DCE+2∠OBC=360°-（∠A+∠D）

180°-2（∠OCE-∠OBC）=360°-（∠A+∠D），

又∵∠OCE-∠OBC=∠BOC.

∴180°-2∠BOC=360°-（∠A+∠D），即2∠BOC=（∠A+∠D）-180°，

∴∠BOC=（∠A+∠D）-90°.

情形三：如图6，在四边形ABCD中，点O是两外角∠EBC与∠FCB平分线BO和CO的交点，证明：∠BOC=180°-（∠A+∠D）.

证明∵BO和CO分别是∠EBC与∠FCB的角平分线，

∴180°-2∠OBC+180°-2∠OCB=360°-（∠A+∠D），

又∵∠OCB+∠OBC=180°-∠BOC，

即360°-2（180°-∠BOC）=360°-（∠A+∠D），

∴∠BOC=180°-（∠A+∠D）.

（2）五边形的情形

情形一：如图7，在五边形ABCDE中，点O是两内角∠ABC与∠BCD平分线和BO和CO的交点，则∠BOC=（∠A+∠D+∠E）-90°.

情形二：如图8，在五边形ABCDE中，点O是内角∠ABC与外角∠DCF平分线和BO和CO的交点，则∠BOC=（∠A+∠D+∠E）-180°.

情形三：如图9，在五边形ABCDE中，点O是两外角∠FBC与∠GCB平分线BO和CO的交点，则∠BOC=270°-（∠A+∠D+∠E）.

此情形一、情形二、情形三类似四边形三种情形的证法，望读者自证。

（3）n边形的情形

通过上面的探究，我们发现多边形相邻的内、外角平分线夹角与其余角的和有一定的关系。即对于任意一个n（n≥3）边形A1，A2…An，其：

①相邻两内角平分线的夹角

∠A2OA3=（A1+A4+A5…An）-（n-4）·90°；

②一内角与相邻一外角平分线的夹角

∠A2OA3=（A1+A4+A5…An）-（n-3）·90°；

③相邻两外角平分线的夹角

∠A2OA3=（n-2）·90°-（A1+A4+A5…An）.

以上内容的探究过程主要运用角平分线的性质以及多边形内角和定理。借此平台与同行们交流，希望通过对此问题的探究使得我们对教材的研究能够更深入一些。

该文在写作过程中得到了天水师范学院数学与统计学院齐邦交老师的悉心指导，在此表示衷心的感谢！