“一题多解与一题多变”在培养学生思维能力中的应用

康泽鹏

摘 要：数学教学要注重培养学生数学思维能力，“一题多解与一题多变”在培养高中学生的数学思维能力，特别是发散思维能力方面得到许多专家和教师的肯定。阐述了“一题多解与一题多变”在培养数学思维能力方面的重要性及应用方法。

关键词：高中数学；数学思维；能力培养

在高中数学课标中，要求数学教师注重培养学生的数学思维能力，并把它作为重要的教学内容。培养思维能力，既能提高学生的理解能力，又能提高学生分析解决问题的能力，还能提高教学效益。“一题多解与一题多变”是培养高中学生的数学思维能力，特别是发散思维能力的好方法。数学教师在讲解数学例题时，不仅要讲解题方法，最重要的是教给学生如何正确理解题意，抓住解题的关键，如何开拓解题思路，也就是培养学生的思维能力。

一、“一题多解与一题多变”的教学价值

1.“一题多解”的教学价值

“一题多解”就是从多个视角去分析思考数学问题，用多种方法途径去解答数学问题。这种方法可以拓宽解题思路，增强数学知识之间的联系，培养学生学会运用多种方式多种方法解题和灵活多变的思考方式，而灵活的思维方式正是创新能力的基础。教师在教学中，要运用“一题多解”的方式进行教学，就要培养学生在解答数学问题时善于从多角度观察感知和思考问题，运用多种方法推导验证问题，多方面寻找运用关联条件，不但要考虑条件本身，还要考虑条件之间的联系，用多种方式进行表述，只有这样才能培养学生数学思维的灵活性。

2.“一题多变”的教学价值

“一题多变”是指在数学解题练习中，将原来数学题目中的一些已知条件进行变换，或者把要求解答的问题与题目一个或者几个条件变换后，再去求解问题的结果；也可能是给出问题的部分条件，让学生去补充另外一些条件；也可能是对数学问题的拓展，增加问题的难度或背景来训练学生的发散思维能力。采用“多变”的方式进行教学，主要是对数学例题或习题进行多种变换，让学生从不同方面、不同情形、不同层次下对该数学问题进行重新求解或认识。它是教学反思的一种方式，它要求学习者从出题人的视角去看问题，并对原来的数学问题有一个深刻的理解，才能做到“多变”。“多变”解题能培养学生观察问题、归纳类比、概括抽象、运算能力、空间想象、构建与反思等多种数学思维能力。

二、“一题多解与一题多变”在培养数学思维能力上的应用

1.培养开放性思维方式

数学教学离不开数学解题，搞“题海战术”仅能得到“一对一”的解题方法和思路，不是科学的解题方法。正确的做法应该是“少而精”，对数学问题的研究和解答要学会举一反三，要培养学生运用开放性思维的方式来解答数学问题。运用“一题多解与一题多变”教学，能培养学生分析和解决数学问题的能力。例如，运用“一题多解”来推导等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d。

方法一：a2=a1+d，a3=a2+d=a1+2d，a4=a3+d=a1+3d…an=a1+（n-1）d。

方法二：根据定义可得，an-an-1=d，an-1-an-2=d，an-2-an-3=d…a2-a1=d，把上面的等式两边累加，得到式子an-a1=（n-1）d，变形即得到通项公式。以上方式在推导公式中，可以让学生学到不同的方法和思路，有利于拓展学生的数学思维。

2.提高分析问题的能力

对于数学题，运用“一题多解与一题多变”方式进行解答，从不同视角思考能得到不同解决方法，能拓展思维能力和提高分析解决数学问题的应变能力。例如，已知a，b≥0且a+b=1，求a2+b2的取值范围。此题解答方法很多，可以让学生从不同的角度去思考问题，从而提高分析数学问题的能力。

方法一：（函数方法）因为a+b=1，得b=1-a，则a2+b2=a2+（1- a）2=2a2-2a+1=2（a-1/2）2+1/2，因为a∈[0，1]，根据二次函数的图象和性质可知：当a=1/2时，a2+b2的最小值是1/2；当a=0或1/2时，a2+b2最大值为1。

方法二：（三角换元法）根据题目给出的条件a，b≥0，a+b=1，则假设a=cos2φ，b=sin2φ，其中φ∈[0，π/2]，则a2+b2=cos4φ+sin4φ=（cos2φ+sin2φ）2-2cos2φsin2φ=1-1/2（2sinφcosφ）2=1-1/2sin22φ=1-1/2（1-cos4φ）/2=3/4+1/4cos4φ，分析：

当cos4φ=-1时，a2+b2得最小值1/2；当cos4φ=1时，a2+b2得最大值1。

此外，此题还可用对称换元、基本不等式、数形结合方法等方法进行求解。

总之，培养学生的数学思维能力是素质教育的一项重要任务，运用“一题多解与一题多变”是培养数学思维的好方法，教师在日常教学中应多加运用，以提高学生的思维创新能力。

参考文献：

李向臣.一题多解与一题多变培养学生发散性思维[J].数学学习与研究，2010（4）.